Teorema 2.3. Função Quadrática da Forma Padrão para a Forma Canônica.
Toda função quadrática escrita na forma \(f(x)=ax^2+bx+c\) pode ser reescrita na forma \(f(x)=a(x-m)^2+k\text{,}\) com \(m=-\dfrac{b}{2a}\) e \(k=\dfrac{4ac-b²}{4a}\text{.}\)
Seção 2 Gráfico de Funções Quadráticas
Subseção 2.1 Função Quadrática do tipo \(y=ax^2\)
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada Parábola, cuja concavidade é determinada pelo valor do coeficiente a, obtendo um eixo de simetria, e que passa pelo seu ponto mais alto ou mais baixo, chamado vértice da parábola.
Observe a imagem a seguir mostrando estes três elementos importantes para a análise do gráfico da função quadrática.
Faremos algumas simulações com um software matemático para tal percepção.
Note que ao mexer no botão deslizante do aplicativo, cuja representação são valores do coeficiente a, notamos que:
-
Se o valor de a é positivo, ou seja, \(a>0\text{,}\) então a concavidade fica virada para cima
-
Quanto maior o valor de a, mais fechada esta parábola fica. Quanto menor o valor e a, mais aberta ela será.
-
Se o valor de a é negativa, ou seja, \(a<0\text{,}\) então a concavidade fica virada para baixo
-
Quanto menor o valor e a, mais fechada a parábola fica. Quanto maior o valor de a, mais aberta ela será.
-
Se a é nulo, ou seja \(a=0\text{,}\) temos uma função constante passando por zero.
Veja algumas imagens em que comparamos as funções, analisando o valor de a.
-
Quando a é positivo (\(a>0\)).
-
Quando a é negativo (\(a<0\)).
Atividade
-
Usando o botão deslizante que representa os valores do coeficiente \(a\text{,}\) faça a parábola preta coincidir com a parábola vermelha.
-
Usando o botão deslizante do coeficiente \(a\) faça a parábola passar pelos 3 pontos A, B e C. Observe as coordenadas dos pontos e compare com o coeficiente da função quadrática.
-
Objetos próximos da Terra movem-se em trajetória parabólica pela ação da gravidade, cujo gráfico é de uma função é quadrática. Com isso, um homem que está treinando lançamentos com uma bola de futebol percebe este movimento parabólico. Com o auxílio do botão deslizante, encontre a parábola que mais se aproxima da trajetória da bola.
Subseção 2.2 Função do tipo \(y=ax^2+k\)
A função quadrática \(y=ax^2\) é uma função que possui apenas um coeficiente multiplicando o termo \(x^2\text{,}\) e é responsável por mudar a abertura da concavidade da parábola. Vamos inserir mais um parâmetro \(k\) somando o termo \(ax^2\text{.}\) Ou seja, analisaremos um gráfico interativo para a função \(y=ax^2+k\text{.}\)
Note que ao aumentar ou diminuir os valor do parâmetro \(k\) no gráfico interativo, o ponto mais alto ou mais baixo da parábola (vértice da parábola) é deslocada verticalmente no seu eixo de simetria. Para \(k>0\) temos que a parábola passa por valores positivos do eixo de simetria. Para \(k=0\) temos que a parábola passa na origem do sistema cartesiano. E para \(k<\) temos que a parábola passa por valores negativos do eixo de simetria.
Portanto, a função do tipo \(y=ax^2+k\) é uma função quadrática cujos parâmetros reais \(a\) e \(k\) são responsáveis por alterar a concavidade da parábola e movê-la verticalmente em eixo de simetria, respectivamente.
Atividade
-
Usando os botões deslizantes que representam os valores dos parâmetros \(a\) e \(k\text{,}\) faça que a parábola preta coincidir com a parábola verde.
-
Use o botão deslizantes do gráfico interativo e faça a parábola passar pelos três pontos. Observe as coordenadas de cada ponto e compare com os coeficientes da função quadrática.
-
Um canhão atira um projétil, desenhando uma trajetória parabólica, cujo gráfico pertence à função quadrática. Mexa nos botões deslizantes do gráfico interativo até que a parábola coincida com a trajetória do projétil.
Subseção 2.3 Função Quadrática do tipo \(y=a(x-m)^2\)
Quando a função quadrática é do tipo \(f(x)=a(x-m)^2\) notamos que o coeficiente \(a\) está multiplicando o quadrado da diferença da variável x por um novo parâmetro que chamaremos de \(m\text{.}\) Vamos observar no gráfico interativo o que acontece com a parábola quando mudamos o valor deste parâmetro.
Este parâmetro \(m\) desloca o eixo de simetria (onde está o vértice) da parábola horizontalmente, no sentido positivo ou negativo do eixo x. Ou seja, se \(m>0\text{,}\) então o eixo de simetria estará à direita do eixo y. Por outro lado, se \(m<0\text{,}\) então o eixo de simetria estará à esquerda do eixo eixo y. E se \(m=0\text{,}\) então o eixo de simetria coincide com o eixo y. Veja uma imagem ilustrativa.
Note que \(y=2(x-2)^2\) possui a=1 e m=2,fazendo com que o eixo de simetria da parábola esteja coincidindo com a reta x=2.
Analogamente, em \(y=2(x-0)^2\) que também pode ser escrito como \(y=2x^2\text{,}\) possui o eixo de simetria da parábola coincidindo com a reta x=0.
E a função \(y=2(x-(-2))^2\) que também pode ser escrito como \(y=2(x+2)^2\text{,}\) possui o seu eixo de simetria coincidindo com a reta x=-2.
Portanto, o parâmetro m é reponsável por deslocar a parábola horizontalmente.
Atividade
-
Utilize os botões delizantes para coincidir as parábolas.
-
Dados os pontos A, B e C do gráfico interativo, use os botões deslizantes dos parâmetros \(a\) e \(m\text{,}\) e encontre uma parábola que passe por esses pontos.
-
Observe o desenho no gráfico interativo e trace uma parábola que coincida com a trajetória do salto do atleta.
Subseção 2.4 Função Quadrática do tipo \(y=a(x-m)^2+k\)
Dizemos que uma função quadrática desse tipo está na forma canônica. Relembrando das funções quadráticas anteriores, os parâmetros a e m são responsáveis pelo sentido da concavidade da parábola e pelo seu deslocamento horizontal, respectivamente. Vamos inserir um terceiro parâmetro, um valor real k, responsável pelo deslocamento vertical da parábola. Teste estes valores no gráfico interativo a seguir.
Analisando três casos para o valor de k, ou seja, k=-2, k=0 e k=2, vamos observar graficamente o que acontece com a parábola no plano cartesiano.
Após análise dos parâmetros \(a\text{,}\) \(m\) e \(k\text{,}\) faremos algumas atividades para compreender e assimilar melhor o conteúdo.
Atividades
-
Use os botões deslizantes do gráfico para coincidir as parábolas.
-
Dados os três pontos A, B e C no gráfico interativo, altere os parâmetros \(a\text{,}\) \(m\) e \(k\text{,}\) de modo que a parábola passe pelos pontos determinados.
- Observe os pontos P, Q, R e S. Um atleta em treinamento deseja acertar esses pontos e para cada um deles, uma trajetória será feita pelo dardo atirado. Preencha a tabela informando quais valores de \(a\text{,}\) \(m\) e \(k\text{,}\) a parábola acerta cada um dos pontos apresentados.
Tabela 2.2. Valor dos parâmetros \(a\text{,}\) \(m\) e \(k\text{,}\) dependendo da localização dos pontos P, Q, R e S. Ponto \(a\) \(m\) \(k\) P Q R S
Subseção 2.5 Escrevendo a Função Quadrática na Forma Canônica
A função quadrática pode ser escrita de duas formas: na forma padrão, \(f(x)=ax^2+bx+c\) e na forma canônica \(f(x)=a(x-m)^2+k\text{.}\)
Contudo, podemos tomar uma função quadrática que está na forma padrão e escrevê-la na forma quadrática e vice-versa. Veja no teorema a seguir como fazer esta transição entre as duas formas de escrever a função quadrática.
Demonstração.
\begin{equation*}
f(x)=a\cdot\left[x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
f(x)=a\cdot\left[\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right)\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
f(x)=a\cdot\left[\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}\right)+\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{4a^2}\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
f(x)=a\cdot\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^2}{4a^2}\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
f(x)=a\cdot\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
f(x)=a\cdot\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}\text{,}
\end{equation*}
Comparando as funções escritas acima \(f(x)=a(x-m)^2+k\) e \(f(x)=a\cdot\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}\) temos que \(m=-\dfrac{b}{2a}\) e \(k=\dfrac{4ac-b^2}{4a}\text{.}\)
Para a constante \(k\text{,}\) chamaremos a constante \(b^2-4ac\) de discriminante e denotaremos como \(\Delta\text{,}\) de modo que \(k=-\dfrac{\Delta}{4a}\text{.}\)
Veja alguns exemplos:
-
Escreva as funções a seguir na forma canônica e identifique qual dos gráficos representa a lei de formação encontrada.
-
\(f(x)=x^2-4x+3\)
Solução.
-
\(f(x)=-x^2+5x-6\)
Solução.
-
\(f(x)=5x^2-25\)
Solução.
-
\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-4x\)
Solução.
\(a=\dfrac{1}{2}\text{,}\)\(b=-4\)\(c=0\text{,}\)\(m=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot\dfrac{1}{2}}=4\) e\(k=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{(-4)^2-4\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot0}{4\cdot\dfrac{1}{2}}=-8\)Portanto, \(f(x)=\dfrac{1}{2}(x-4)^2-8\) cuja paŕabola está representada no Gráfico 1.
-
\(f(x)=x^2-4x+3\)
Subseção 2.5.1 Vértice da Parábola
A parábola é a curva desenhada pelo gráfico da função quadrática e seu vértice é, o seu ponto de mínimo se a parábola for virada para cima ou o ponto de máximo de a parábola for virada para baixo, indenpendente de qual forma ela está escrita, seja a padrão ou a canônica. Como já sabemos escrever uma função na forma canônica, observaremos facilmente o vértice dela quando usamos um software gráfico para desenhar as parábolas.
Quais as coodenadas do vértce da parábola definida pela equação \(f(x)=(x-2)^2+3\text{?}\)
Na função \(f(x)=(x-2)^2+3\) os valores de \(m=2\) e \(k=3\) representam as coordenadas do ponto de mínimo da parábola, ou seja, \(V=(m,k)=(2,3)\text{.}\) E como já sabemos, \(m\) representa a equação do eixo de simetria da parábola. Ou seja, nessa função, \(x=2\) representa a lei de formação do eixo de simetria da parábola.
Quais as coodenadas do vértce da parábola definida pela equação \(f(x)=-x^2-6x-8\text{?}\)
Note que a função está escrita na forma \(f(x)=-x^2-6x-8\text{.}\) Podemos escrever a função na forma canônica e em seguida analisar os valores de \(m\) e \(k\text{.}\) Logo,
\begin{equation*}
f(x)=-x^2-6x-9+1
\end{equation*}
\begin{equation*}
f(x)=-(x^2+6x+9)+1
\end{equation*}
\begin{equation*}
f(x)=-(x+3)^2+1
\end{equation*}
Assim, o vértice tem coordenadas \(V=(m,k)=(-3,1)\text{,}\) localizado no eixo de simetria de equação \(x=-3\) e a concavidade virada para baixo deve-se ao fato de \(a=-1\text{,}\) valor positivo.
Determine o vértice das funções quadráticas
-
\(\displaystyle f(x)=2(x+1)^2-\dfrac{1}{2}\)
Solução.
-
\(\displaystyle f(x)=x^2-1\)
Solução.
-
\(\displaystyle f(x)=-x^2+3x+2\)
Solução.
Vamos escrever a função da forma padrão para a forma canônica.\begin{equation*} f(x)=-x^2+3x+2 \end{equation*}\begin{equation*} f(x)=-1\cdot \left(x-\dfrac{-b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a} \end{equation*}\begin{equation*} f(x)=-1\cdot \left(x-\dfrac{-3}{2\cdot(-1)}\right)^2+\dfrac{4\cdot(-1)\cdot(-2)-3^2}{4\cdot(-1)} \end{equation*}\begin{equation*} f(x)=-\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4} \end{equation*}Temos então o vértice da função cujas coordenadas são \(V=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{4}\right)\text{.}\)
Subseção 2.5.2 Domínio e Imagem da Função Quadrática
Após determinarmos o vértice de uma parábola, podemos analisar o domínio e a imagem de uma função quadrática. A seguir, observe a linha vermelha, que mostra os valores de y que podem ser obtidos quando alteramos os valores de \(a\text{,}\) \(m\) e \(k\text{.}\)
Seja \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) uma função quadrática definida pela lei de formação \(f(x)=a(x-m)^2+k\text{,}\) onde \(a\text{,}\) \(m\) e \(k\) são valores reais definidos por \(m=-\dfrac{b}{2a}\) e \(k=\dfrac{4ac-b^2}{4a}\text{,}\) define-se que o Domínio da função quadrática, que contém todos os valores de x para os quais a expressão \(f(x)=a(x-m)^2+k\) faz sentido, denotado por \(D(f)\text{,}\) ou seja, \(D(f)=\mathbb{R}\text{.}\) Por outro lado, a Imagem de uma função quadrática, denotada por \(Im(f)\text{,}\) dependerá do valor do vértice da parábola, já que a função não é definida em todo eixo y. Vejamos alguns exemplos:
-
Determine o domínio e a imagem das funções quadráticas:
-
\(y=2(x-3)^2-4\)
Solução.
-
\(y=-(x+1)^2+2\)
Solução.
-
\(y=x^2\)
Solução.
-
\(y=-x^2-3\)
Solução.
-
Subseção 2.6 Escrevendo a Função Quadrática na Forma Padrão
Na subseção anterior, passamos uma função quadrática da forma padrão para a forma canônica. Agora, veremos como fazer o inverso, ou seja, passar a função quadrática escrita na forma canônica para a forma padrão.
Seja f uma função quadrática na forma \(f(x)=a(x-m)^2+k\text{,}\) com \(a\text{,}\)\(m\text{,}\) \(k\) \(\in\mathbb{R}\text{,}\) abriremos o produto da diferença primeiro. Logo,
\begin{align*}
f(x)\amp =a\cdot(x^2-2mx+m^2)+k\\
\amp =ax^2-2amx+am^2+k\\
\amp =ax^2+(-2am)x+(am^2+k)
\end{align*}
Portanto, segue que os coeficientes da forma padrão são \(a\text{,}\) \(b=-2am\) e \(c=am^2+k\text{.}\)
Note que não é muito complexo abrir o produto notável e muitas vezes poderemos optar por este método para resolver alguns exercícios em vez de decorar mais fórmulas para determinar coeficientes da forma padrão.
Veja o exemplo a seguir, onde transformamos a função quadrática da forma canônica para a forma padrão.
Exemplo:
-
Escreva a função a seguir na forma padrão:
-
\(f(x)=(x-2)^2-1\)
Solução.
Abrindo o produto notável:\(f(x)=x^2 -2\cdot x \cdot2 + 2^2 - 1 = x^2-4x+3\)Portanto, \(f(x)=x^2-4x+3\text{.}\)\(f(x)=1\cdot x^2-2\cdot1\cdot2\cdot x+1\cdot2^2+(-1)\)Portanto, \(f(x)=f(x)=x^2-4x+3\)
-
Atividade
-
Escreva as funções a seguir na forma padrão:
-
\(f(x)=-\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)
Solução.
\(f(x)=-x^2+2\cdot x\cdot \dfrac{5}{2}-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}=-x^2+5x-6\)Portanto, \(f(x)=-x^2+5x-6\text{.}\)Usando \(f(x)=ax^2-2amx+am^2+k\text{,}\) temos que \(a=-1\text{,}\) \(m=\dfrac{5}{2}\) e \(k=\dfrac{1}{4}\text{.}\) Logo\(f(x)=-1\cdot x^2-2\cdot (-1)\cdot \dfrac{5}{2}\cdot x+ (-1)\cdot \left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)Portanto, \(f(x)=-x^2+5x-6\) -
\(f(x)=\dfrac{1}{2}(x-4)^2-8\)
Solução.
\(f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot (x^2-2\cdot x\cdot4+4^2)-8 =\dfrac{x^2}{2}-4x+8-8 =\dfrac{x^2}{2}-4x\)Portanto, \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-4x\text{.}\)Usando \(f(x)=ax^2-2amx+am^2+k\text{,}\) temos que \(a=\dfrac{1}{2}\text{,}\) \(m=4\) e \(k=-8\text{.}\) Logo\(f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^2-2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot x + \dfrac{1}{2}\cdot 4^2-8\)Portanto, \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}-4x\text{.}\)
-
Subseção 2.6.1 Esboçando o Gráfico da Função Quadrática
Vamos construir o esboço de dois gráficos de função quadrática.
-
Esboce o gráfico das funções quadráticas:
-
\(f(x)=-(x-2)^2+4\)
Solução.
\(a=-1\)\(m=2\)\(x=2\)\(V=(2,4)\)\(f(2)=4\text{,}\)\(f(1)=f(3)\)\(f(0)=f(4)\text{.}\)\begin{equation*} f(1)=-(1-2)^2+4=-(-1)^2+4=-1+4=3 \end{equation*}\begin{equation*} f(3)=-(3-2)^2+4=-(1)^2+4=-1+4=3 \end{equation*}\begin{equation*} f(0)=-(0-2)^2+4=-(-2)^2+4=-4+4=0 \end{equation*}\begin{equation*} f(4)=-(4-2)^2+4=-(2)^2+4=-4+4=0 \end{equation*}
-
\(g(x)=x^2-6x+5\)
Solução.
\(a=1\text{,}\)\(b=-6\)\(c=5\text{,}\)\begin{equation*} m=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{(-6)}{2\cdot(1)}=3 \end{equation*}\begin{equation*} k=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{(-6)^2-4\cdot(1)\cdot(5)}{4\cdot(1)}=-4 \end{equation*}Logo, \(f(x)=(x-3)^2-4\text{.}\)Obtendo a função quadrática na forma canônica, cujos valores de \(a=1\) indica a concavidade virada para cima, \(m=3\) indica o eixo de simetria coincidindo com a reta \(x=3\) e \(V=(3,-4)\) o vértice da função indicando o ponto de mínimo da parábola. Podemos utilizar ainda mais um valor numérico da função para ajudar no desenho da parábola. Já sabemos que \(f(3)=-4\text{,}\) é o vértice da paŕabola. Então, como x=3 é o eixo de simetria da parábola, então \(f(2)=f(4)\) e \(f(1)=f(5)\text{.}\) Temos então:\begin{equation*} f(2)=(2-3)^2-4=(1)^2-4=1-4=-3 \end{equation*}\begin{equation*} f(4)=(4-3)^2-4=(1)^2-4=1-4=-3 \end{equation*}\begin{equation*} f(1)=(1-3)^2-4=(-2)^2-4=4-4=0 \end{equation*}\begin{equation*} f(5)=(5-3)^2-4=(2)^2-4=4-4=0 \end{equation*}Veja o gráfico cuja parábola passa pelos pontos (2,-3), (4,-3), (1,0), (5,0), o vértice (3,-4), e concavidade virada para cima.
-
Subseção 2.7 Foco da Parábola
Geometricamente, parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes a uma reta \(d\) chamada diretriz e um ponto fixo \(F\) chamado de foco que não esteja na reta. Observando a imagem, temos uma parábola de concavidade positiva. Dentro da concavidade e situado no eixo de simetria da parábola está localizado o ponto \(F\text{,}\) assim, colinear com o vértice da parábola. Nesta, localizamos um ponto \(A\) e na reta diretriz um ponto \(B\text{.}\) Note que a distância do ponto \(A\) ao foco \(F\) tem a mesma medida que a distância do ponto \(A\) ao foco \(B\text{.}\) Ou seja, \(\overline{AF}=\overline{AB}\text{.}\)
Elementos da Parábola
-
FOCO: ponto fora da diretriz que se encontra no eixo de simetria da parábola e fora da diretriz.
-
DIRETRIZ: reta cuja distância de qualquer ponto da parábola e o foco é igual à distância destes pontos da parábola à reta diretriz. Será adotada a notação \(d\)
-
PARÂMETRO: é a distância do foco e a reta diretriz e será adotada a notação \(2p\text{.}\)
-
VÉRTICE: é o ponto da parábola mais próximo da diretriz. Está na metade da distância do foco à reta diretriz.
-
CÁLCULO DA EQUAÇÃO DA PARÁBOLA: para determinar a equação da parábola utilizaremos o vértice localizado na origem do sistema de eixos ortogonais \(V=(0,0)\text{,}\) o eixo de simetria da parábola coincidente com o eixo y, um ponto na parábola cujas coordenadas são \(A=(x,y)\text{,}\) um ponto na reta diretriz e de mesma abscissa que o ponto \(A\) que denotaremos \(B=(x,-p)\) e o foco de coordenadas \(F=(0,p)\text{.}\) Assim, usando a fórmula da distância entre dois pontos, temos que:\begin{equation*} \sqrt{(x-0)^2+(y-p)^2}=\sqrt{(x-x)^2+(y+p)^2} \end{equation*}\begin{equation*} x^2+y^2-2\cdot y\cdot p+p^2=0+y^2+2\cdot y\cdot p+p^2 \end{equation*}\begin{equation*} x^2-2yp=2yp \end{equation*}\begin{equation*} 4yp=x^2 \end{equation*}\begin{equation*} y=\dfrac{x^2}{4p} \end{equation*}
Exemplo 1: Seja uma função quadrática cuja lei de formação é \(y=2x^2\) temos que o vértice da função é o ponto \(V=(0,0)\text{.}\) Como o parâmetro da função é \(p=\dfrac{1}{8}\text{,}\) então o foco da parábola é o ponto \(F=\left(0,\dfrac{1}{8}\right)\) e a diretriz é a reta \(d:y=\dfrac{-1}{8}\text{.}\) Portanto, segue o gráfico. 
Exemplo 2: Seja uma função quadrática cuja lei de formação é \(y=\dfrac{x^2}{8}\) temos que o veŕtice da função é o ponto \(V=(0,0)\text{.}\) Como o parâmetro da função é \(p=4\text{,}\) então o foco da parábola é o ponto \(F=(0,2)\) e a diretriz é a reta \(d:y=-2\text{.}\) Portanto segue o gráfico da função: 
Exemplo 3: Seja uma função quadrática cuja lei de formação é \(y=-\dfrac{1}{4}(x-3)^2+2\) temos que o vértice da função é o ponto \(V=(3,2)\text{.}\) Como o parâmetro da função é \(p=1\) então o foco da parábola é o ponto \(F=(3,1)\) e a reta diretriz tem lei de formação \(d:y=3\text{.}\) Portanto, segue o gráfico da função: 
Teorema 2.4.
Dado uma parábola com equação canônica \(y=a(x-m)^2+k\text{,}\) as coordenadas do foco são \(F=\left(m,k+\dfrac{1}{4a}\right)\) e a diretriz é a reta \(y=k-\dfrac{1}{4a}\text{.}\)
Uma aplicação deste elemento importante da parábola é o fogão solar, um dispositivo sustentável que usa a energia térmica do sol para cozinhar alimentos, substituindo o uso de combustíveis como lenha, carvão, gás e eletricidade.
Alguns princípios básicos dos fogões solares são:
-
O fogão solar possui um coletor que captura a luz solar e a converte em calor. Este coletor pode ser feito de materiais como vidro ou plástico transparente, que permitem a passagem da luz solar enquanto retêm o calor.
-
Alguns modelos de fogões solares incluem refletores que direcionam e concentram a luz solar no coletor, aumentando assim a eficiência do aquecimento.
-
Para maximizar a retenção de calor, o fogão solar geralmente é projetado com isolamento ao redor do recipiente de cozimento, reduzindo a perda de calor para o ambiente.
-
A panela ou recipiente de cozimento é colocado no coletor solar, onde absorve o calor gerado pela luz solar concentrada. Os alimentos são então cozidos lentamente pela transferência de calor do recipiente para os ingredientes.
Tipos de Fogões Solares:
-
Fogões Solares de Caixa: é o tipo mais comum de fogão solar, composto de caixa isolada, tampa transparente e um refletor dentro da caixa para refletir a luz do sol, mantendo dentro do recipiente um ambiente propício para cozimento. Fonte: [4.18]
Figura 2.5. Fogão Solar de Caixa -
Fogões Solares Parabólicos: usam refletores parabólicos para refletir a luz num único ponto (foco da parábola). Fonte: [4.19]
Figura 2.6. Fogão Solar Parabólico -
Fogões Solares Híbridos: combinam diversos tipos de tecnologia de aquecimento. Fonte: [4.20]
Figura 2.7. Fogão Solar Híbrido -
Fogão Solare Portátil: projetados para serem compactos e fáceis de transportar. Fonte: [4.21]
Figura 2.8. Fogão Solar Portátil
Vantagens e desvantagens do fogão solar:
Vantagens:
-
Sustentabilidade ambiental
-
Economia de recursos
-
Custo efetivo a longo prazo
-
Versatilidade
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Segurança
-
Facilidade de uso
Desvantagens:
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Dependência das condições climáticas
-
Tempo longo de cozimento
-
Limitações de capacidade
-
Necessodade de ajustes de posição
-
Custo inicial elevado
-
Sensibilidade a danos
-
Utilize os botões deslizantes para coincidir parábolas, focos e retas diretrizes, observando a fórmula da função quadrática no gráfico.
-
Observe que no gráfico interativo a seguir, o segmento desenhado representa o parâmetro da parábola \(f\text{.}\) Use os botões deslizantes para mostrar as possibilidade de lei de formação da parábola cujo parâmetro é o segmento AB.
-
Nos fogões solares, para que haja um cozimento efetivo dos alimentos e um bom aquecimento das panelas, é necessário que estas estejam localizadas no foco da parábola. No gráfico a seguir, as linhas em laranja representam a incidência dos raios solares refletindo no foco. Utilize os botões deslizantes do gráfico interativo para colocar o foco no centro da panela, observando a fórmula da função quadrática desenhada.
Subseção 2.8 Exercícios
-
Identifique qual gráfico a seguir representa uma função quadrática.
-
-
Localize qual das retas representam o eixo de simetria da função quadrática desenhada no gráfico.
-
x=0
-
x=2
-
\(\displaystyle x=\dfrac{5}{2}\)
-
x=3
-
\(\displaystyle x=\dfrac{7}{2}\)
Solução.
-
-
-
\(\displaystyle a<0\)
-
\(\displaystyle a=0\)
-
\(\displaystyle a>0\)
-
-
Associe as funções quadráticas na forma \(f(x)=ax^2+k\) com os gráficos a seguir:
-
\(\displaystyle f(x)=-\sqrt7x^2+\dfrac{5}{3}\)
-
\(\displaystyle f(x)=2x^2-3\)
-
\(\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2}{4}-1\)
-
\(\displaystyle f(x)=-x^2+3\)
-
-
Dada a função \(f(x)=2(x-3)^2-3\text{,}\) calcule:
-
\(f(-2)\)
Solução.
\(f(-2)=2\cdot(-2-3)^2-3=2\cdot(-5)^2-3=2\cdot25-3=50-3=47\) -
\(f(0)\)
Solução.
\(f(0)=2\cdot(0-3)^2-3=2\cdot(-3)^2-3=2\cdot9-3=18-3=15\) -
\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)
Solução.
\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\cdot\left(\dfrac{1}{2}-3\right)^2-3=2\cdot\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2-3=2\cdot\left(\dfrac{25}{4}\right)-3=\left(\dfrac{25}{2}\right)-3=\dfrac{19}{2}\) -
\(f(-\sqrt2)\)
Solução.
\(f(-\sqrt2)=2(-\sqrt2-3)^2-3=2(2+3\sqrt2+3\sqrt2+9)-3=4+12\sqrt2+18-3=12\sqrt2+19\)
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Demonstre como escrever as funções quadráticas a seguir na forma canônima
Dica.
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\(y=x^2-5x+6\)
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\(y=x^2-4x+3\)
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\(y=-x^2+25x\)
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\(y=2x^2-4x+2\)
Solução.
\begin{equation*} m=-\left(\dfrac{-4}{2\cdot2}\right)=\left(\dfrac{4}{4}\right)=1 \end{equation*}\begin{equation*} f(m)=2\cdot(m)^2-4\cdot(m)+2=2\cdot1^2-4\cdot1+2=2-4+2=0 \end{equation*}\(y=2(x-1)^2\text{.}\)
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Resolva o seguinte problema:(Enem Digital 2020) Em um ano, uma prefeitura apresentou o relatório de gastos públicos realizados pelo município. O documento mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro (mês 1), que o maior gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e que a prefeitura gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12). A curva que modela esses gastos é a parábola y=T(x), com x sendo o número correspondente ao mês e T(x) em milhar de real. A expressão da função cujo gráfico é o da parábola descrita é:
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\(\displaystyle T(x)=(x-8)^2+120\)
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\(\displaystyle T(x)=-(x-8)^2+121\)
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\(\displaystyle T(x)=3(x-16)^2+57\)
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\(\displaystyle T(x)=-3(x-16)^2+25\)
Solução.
Usaremos a função quadrática na forma canônica para encontrar a solução do exercício.Note que como o máximo ocorre no mês 8, então T(4)=105=T(12) em função da parábola ser simétrica ao vértice. Além disso, se T(1)=72, então, substituindo esses valores, temos\begin{align*} a(4-8)^2+k \amp =105\\ a(-4)^2+k \amp =105\\ 16a+k \amp =105 \end{align*}Analogamente,\begin{align*} a(1-8)^2+k \amp =72\\ a(-7)^2+k \amp =72\\ 49a+k \amp =72 \end{align*}Substituindo na primeira equação, temos:\begin{align*} 16a+72-49a \amp =105\\ -33a \amp =33\\ a \amp =\dfrac{33}{-33}\\ a \amp =-1 \end{align*}Encontrando o valor de \(k\text{,}\) temos então:\begin{align*} k \amp =72-49\cdot(-1)\\ k \amp =72+49\\ k \amp =121 \end{align*}Portanto, \(T(x)=-(x-8)^2+121\text{,}\) alternativa b. -
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Investigue os valores de \(a\text{,}\) \(m\) e \(k\text{,}\) e com os botões deslizantes do gráfico, faça uma parábola que passe pelos pontos assinalados.
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Selecione qual dos gráficos a seguir representa a função \(f(x)=-3(x-1)^2+2\text{.}\)
Solução.
Como o parâmentro \(a\) é negativo, temos que a parábola tem a concavidade virada para baixo. Logo, vamos analisar apenas as alternativas b e d.O parâmentro \(m\) é positivo, assim a parábola está à direita do eixo y.Por fim, o parâmetro \(k\) é positivo, fazendo a parábola estar com seu vértice acima do eixo x, passando no ponto \(V=(m,k)=(1,2)\text{.}\)Portanto, alternativa b. -
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Justifique por quê a função quadrática \(f(x)=2x^2+28x+98\) possui seu ponto de mínimo no eixo x.
Solução.
Passando a função da forma padrão para a canônica, temos:\begin{align*} f(x) \amp =2\left(x-\dfrac{(-28)}{2\cdot2}\right)^2+\dfrac{4\cdot2\cdot98-28^2}{4\cdot2}\\ f(x) \amp =2\left(x-\dfrac{(-28)}{4}\right)^2+\dfrac{784-784}{8}\\ f(x) \amp =2(x+7)^2+0\\ f(x) \amp =2(x+7)^2 \end{align*}Note que função possui \(k=0\text{.}\) Isto quer dizer que o vértice da função não está nem acima nem abaixo do eixo x. Portanto, a função quadrática \(f(x)=2(x+7)^2\) possui seu ponto de mínimo sobre o eixo x. -
Compare os gráficos a seguir e determine qual deles representa a Imagem \(Im(f)=\{y\in\mathbb{R}/y\geq-4\}\text{.}\)
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Utilizando os controles deslizantes que representam os coeficientes da função quadrática na forma padrão, identifique qual das panelas está no foco da função quadrática \(f(x)=\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{1}{2}\)
