Função Quadrática

Subseção 3.1 Zeros e a Forma Canônica

Subseção 3.2 Calcular zeros da função utilizando a forma padrão

Subseção 3.3 Zero da função quadrática nos gráficos

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1. Determine os zeros das funções quadráticas a partir dos gráficos das funções.

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   1. função \(f\)

      

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      Solução.

      A parábola da função \(f\) intersecta o eixo x nos pontos (-4,0) e (0,0). Portanto, os zeros da função \(f\) são -4 e 0.

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   2. função \(g\)

      

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      Solução.

      A parábola da função \(g\) intersecta o eixo x apenas no ponto (1,0). Portanto, 1 é o zero da função.

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   3. função \(h\)

      

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      Solução.

      A parábola \(g\) não intersecta o eixo x. Logo, suas raízes são complexas. Para determiná-las, precisamos dos valores de \(m\text{,}\) \(k\) e \(a\text{.}\)

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      Como o vértice da parábola tem coordenadas \(V=(1,2)\) e o vértice de uma parábola é dado por \(V=(m,k)\text{,}\) então \(m=1\) e \(k=2\text{.}\)

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      Precisamos de mais um ponto da parábola para determinar o coeficiente \(a\text{.}\) Note que a parábola passa no eixo y no ponto (0,3). Usaremos então x=0 e y=3 na fórmula da função quadrática na forma canônica \(y=a(x+m)^2+k\text{.}\) Logo,

      \begin{align*} a\cdot (0-1)^2+2 \amp =3\\ a\cdot (-1)^2+2 \amp =3\\ a\cdot 1+2 \amp =3\\ a\amp=3-2\\ a\amp=1 \end{align*}

      Portanto, temos que \(a=1\text{.}\)

      Para determinar os zeros da função \(h\text{,}\) faremos \(h(x)=0\text{.}\) Logo,

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      \begin{align*} (x-1)^2+2\amp=0\\ (x-1)^2\amp=-2\\ x-1\amp=\pm\sqrt(-2)\\ x-1\amp=\pm\sqrt(-2)\\ x-1\amp=\sqrt2i \end{align*}

      Abrindo em dois casos, temos: \(x=\sqrt2i+1\) e \(x-\sqrt2i+1\text{.}\) Temos que as raízes da função \(h\) são \(\sqrt2i+1\) e \(-\sqrt2i+1\text{.}\)

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Subseção 3.4 Discriminante

1. Investigue para que valores de \(k\) a parábola fará intersecção com o eixo e terá 0, 1 ou 2 raízes?
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2. Investigue para que valores de \(k\) a parábola fará intersecção com o eixo e terá 0, 1 ou 2 raízes?
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1. Determine quantas raízes possuem as funções a seguir:

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   1. \(\displaystyle f(x)=-3(x+1)^2\)

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      Solução.

      Seja a função quadrática \(f(x)=-3(x+1)^2\text{.}\) Como \(a=-3\) e \(k=0\text{,}\) temos que \(a\cdot k=-3\cdot0=0\text{,}\) portanto, a função possui uma raíz.

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   2. \(\displaystyle f(x)=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2-2\)

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      Solução.

      Seja a função quadrática \(f(x)=-\dfrac{3}{2}(x-2)^2-2\text{.}\) Como \(a=-\dfrac{3}{2}\) e \(k=-2\text{,}\) temos que \(a\cdot k=-\dfrac{3}{2}\cdot(-2)=3>0\text{,}\) portanto, a função possui duas raízes.

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   3. \(\displaystyle f(x)=5(x+4)^2-1\)

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      Solução.

      Seja a função quadrática \(f(x)=5(x+4)^2-1\text{.}\) Como \(a=5\) e \(k=-1\text{,}\) temos que \(a\cdot k=5\cdot(-1)=-5<0\text{,}\) portanto, a função não possui raízes reais.

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Subseção 3.5 Estudo dos Sinais da Função Quadrática

1. \(\displaystyle y=3x^2-4x+1\)

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   • Zero da Função

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     \begin{equation*} \Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot3\cdot1=16-12=4 \end{equation*}

     \begin{equation*} \Rightarrow x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{4\pm\sqrt4}{2\cdot3}=\dfrac{4\pm2}{6} \end{equation*}

     Abrindo em dois casos, temos que:

     \begin{equation*} x_1=\dfrac{4-2}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}, \end{equation*}

     \begin{equation*} x_2=\dfrac{4+2}{6}=\dfrac{6}{6}=1. \end{equation*}

     Os zeros da função são os valores \(\dfrac{1}{3}\) e 1.

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   • A concavidade da parábola é voltada para cima já que \(a=3>0\text{.}\)

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   • Para os valores menores do que o primeiro zero da função ou maiores do que o segundo zero da da função, ou seja \(x<\dfrac{1}{3}\) ou \(x>1\text{,}\) então temos uma função positiva. Logo, \(f(x)>0\text{.}\) Já para valores entre os zeros da função, ou seja, \(\dfrac{1}{3}<x<1\text{,}\) então temos uma função negativa, portanto, \(f(x)<0\text{.}\) Veja a imagem.

     

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   • Para tal percepção, podemos fazer um cálculo simples com valores nos intervalos mencionados.

     \begin{equation*} f(-2)=3\cdot(-2)^2-4\cdot(-2)+1=12+8+1=21>0 \end{equation*}

     \begin{equation*} f(0,5)=3\cdot(0,5)^2-4\cdot(0,5)+1=0,75-2+1=-0,25<0 \end{equation*}

     \begin{equation*} f(2)=3\cdot(2)^2-4\cdot(2)+1=12-8+1=5>0 \end{equation*}

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2. Exemplo 3.5.

   \(y=-2x^2+8x-6\)

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   • \begin{equation*} \Delta=b^2-4ac=(8)^2-4\cdot(-2)\cdot(-6)=64-48=16 \end{equation*}

     \begin{equation*} \Rightarrow x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-8\pm\sqrt16}{2\cdot(-2)}=\dfrac{-8\pm4}{-4} \end{equation*}

     Abrindo em dois casos, temos que:

     \begin{equation*} x_1=\dfrac{-8-4}{-4}=\dfrac{-12}{-4}=3, \end{equation*}

     \begin{equation*} x_2=\dfrac{-8+4}{-4}=\dfrac{-4}{-4}=1. \end{equation*}

     Os zeros da função são os valores 1 e 3.

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   • A concavidade da parábola é voltada para baixo já que \(a=-2<0\text{.}\)

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   • Para os valores menores do que o primeiro zero da função ou maiores do que o segundo zero da da função, ou seja \(x<1\) ou \(x>3\text{,}\) então temos uma função negativa. Logo, \(f(x)<0\text{.}\) Já para valores entre os zeros da função, ou seja, \(1<x<3\text{,}\) então temos uma função positiva, portanto, \(f(x)>0\text{.}\) Veja a imagem.

     

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   • Para tal percepção, podemos fazer um cálculo simples com valores nos intervalos mencionados.

     \begin{equation*} f(0)=-2\cdot(0)^2+8\cdot(0)-6=-6<0 \end{equation*}

     \begin{equation*} f(2)=-2\cdot(2)^2+8\cdot(2)-6=6>0 \end{equation*}

     \begin{equation*} f(4)=-2\cdot(4)^2+8\cdot(4)-6=-6<0 \end{equation*}

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3. Exemplo 3.6.

   \(f(x)=5x^2\)

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   • \begin{equation*} \Delta=b^2-4ac=(0)^2-4\cdot(5)\cdot(0)=0 \end{equation*}

     \begin{equation*} \Rightarrow x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-0\pm\sqrt0}{2\cdot(5)}=0 \end{equation*}

     Portanto, o a raíz da função é o valor 0.

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   • A concavidade da parábola é voltada para cima já que \(a=5>0\text{.}\)

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   • Esta é uma função que mostra uma parábola que apenas na sua raíz, ou seja, na interseção da parábola com o eixo x, a função é nula. Para todos os outos valores de x a função é positiva. Logo, \(f(x)>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}-\{0\}\text{.}\) Já para valores entre os zeros da função, ou seja, \(1<x<3\text{,}\) então temos uma função positiva, portanto, \(f(x)>0\text{.}\) Veja a imagem.

     

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   • Para tal percepção, podemos fazer um cálculo simples com valores nos intervalos mencionados.

     \begin{equation*} f(-2)=5\cdot(-2)^2=20>0 \end{equation*}

     \begin{equation*} f(0)=5\cdot(0)^2=0 \end{equation*}

     \begin{equation*} f(4)=5\cdot(4)^2=80>0 \end{equation*}

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4. Exemplo 3.7.

   \(f(x)=-0,5x^2+x-1\)

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   • \begin{equation*} \Delta=b^2-4ac=(1)^2-4\cdot(-0,5)\cdot(-1)=1-2=-1 \end{equation*}

     \begin{equation*} x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-1\pm\sqrt-1}{2\cdot(-0,5)}=\dfrac{-1\pm\sqrt-1}{-1}= \end{equation*}

     Como temos uma raíz quadrada de um número negativo e este não definido no conjunto dos números reais, então a função não possui zeros reais, o que significa que a parábola não intersecta o eixo x.

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   • A concavidade da parábola é voltada para baixo já que \(a=-0,5<0\text{.}\)

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   • Esta é uma função que mostra uma parábola que está toda contida abaixo do eixo x, isto é, para qualquer valor de x, o resultado será sempre um valor negativo para \(f(x)\text{.}\) Logo, \(f(x)<0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\text{.}\) Veja a imagem.

     

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   • Para tal percepção, podemos fazer um cálculo simples com valores nas informações mencionadas.

     \begin{equation*} f(-2)=-0,5\cdot(-2)^2+(-2)-1=-2-2-1=-5<0 \end{equation*}

     \begin{equation*} f(0)=-0,5\cdot(0)^2+(0)-1=-1=-1<0 \end{equation*}

     \begin{equation*} f(4)=-0,5\cdot(4)^2+(4)-1=-8+4-1=-5<0 \end{equation*}

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Subseção 3.6 Inequações Quadráticas

1. \(x^2-6x+9\geq0\)

   Solução.

   Calculando os zeros da função quadrática, temos que:

   \begin{equation*} \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0 \end{equation*}

   Como \(\Delta>0\) então temos duas raźes reais iguais ou apenas uma raíz real. Logo,

   \begin{equation*} x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{6\pm\sqrt0}{2\cdot 1}=\dfrac{6\pm0}{2} \end{equation*}

   \begin{equation*} x_1=\dfrac{6-0}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \end{equation*}

   e

   \begin{equation*} x_2=\dfrac{6+0}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \end{equation*}

   Logo,

   \begin{equation*} x_1=x_2=3 \end{equation*}

   Assim, temos duas raízes reais iguais e a concavidade está virada para cima pois \(a=1>0\text{.}\) Segue então o seguinte estudo de sinais:

   

   Se \(x\neq x_1\text{,}\)então \(f(x)>0\text{.}\)

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   Se \(x=x_1\text{,}\) então \(f(x)=0\text{.}\)

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   Portanto, a solução do exercício é

   \(S=\\mathbb{R}/\)

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2. \(x^2-6x+9\leq0\)

   Solução.

   Até o estudo de sinais a solução deste exercício é a mesma. Portanto, a solução do exercício é: \(S=\{3\}\)

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3. \(x^2-6x+9>0\)

   Solução.

   Até o estudo de sinais a solução deste exercício é a mesma. Portanto, a solução do exercício é: \(S=\{x\in\mathbb{R}/x\neq3\}\)

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4. \(x^2-6x+9<0\)

   Solução.

   Até o estudo de sinais a solução deste exercício é a mesma. Portanto, a solução do exercício é: \(S=\{\}\)

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1. \(x^2-6x+10>0\)

   Solução.

   Calculando os zeros da função quadrática, temos que:

   \begin{equation*} \Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4 \end{equation*}

   Como \(\Delta<0\) então a função não possui raízes reais. Assim, a paŕabola não possui interseção com o eixo x e a concavidade está virada para cima pois \(a=1>0\text{.}\) Segue então o seguinte estudo de sinais:

   

   Portanto, a solução do exercício é

   \(S=\mathbb{R}\)

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2. \(x^2-6x+10<0\)

   Solução.

   Até o estudo de sinais a solução deste exercício é a mesma. Portanto, a solução do exercício é o conjunto vazio \(S=\{\}\)

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Solução.

O gráfico da função quadrática mencionada é uma parábola de concavidade virada para cima. Como se quer \(f(x)>0\) para todo x real, então temos o seguinte gráfico:

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Temos então \(\Delta<0\text{.}\) Logo,

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\begin{equation*} \Delta<0 \end{equation*}

\begin{equation*} (-6)^2-4\cdot1\cdot(2m+1)<0 \end{equation*}

\begin{equation*} 36-8m-4<0 \end{equation*}

\begin{equation*} 32-8m<0 \end{equation*}

\begin{equation*} -8m<-32 \end{equation*}

\begin{equation*} 8m>32 \end{equation*}

\begin{equation*} m>4 \end{equation*}

\(m>4\text{,}\)\(f(x)>0\forall x\in\mathhbb{R}\text{.}\)

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1. Resolva a inequação \(x^2-4x+3>0\text{.}\)

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   Solução.

   Calculando os zeros da função quadrática \(y=x^2-4x+3\text{,}\) temos que

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   \begin{equation*} \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4 \end{equation*}

   \(\Delta>0\text{.}\)

   \begin{equation*} x=\dfrac{4\pm\sqrt4}{2\cdot1}\dfrac{4\pm2}{2} \end{equation*}

   \begin{equation*} \Rightarrow x=\dfrac{4\pm2}{2} \end{equation*}

   \begin{equation*} x_1=\dfrac{4-2}{2}=1 \end{equation*}

   \begin{equation*} x_2\dfrac{4+2}{2}=3 \end{equation*}

   

   \(a>0\)\(S=\{x\in\mathbb{R}/x<1 \ ou \ x>3\}\)

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   🔗
2. Determine \(m\) para que a função quadrática \(f(x)=mx^2+(2m-1)x+(m+1)\) seja positiva para todo x real.

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   Solução.

   Para que a função seja positiva para todo x real precisamos que \(a>0\) e \(\Delta<0\text{.}\) Ou seja, precisamos que a parábola esteja com a concavidade para cima e não tenha intersecções com o eixo x. Logo,

   \begin{equation*} \Delta=(2m-1)^2-4\cdot m\cdot (m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=-8m+1<0 \end{equation*}

   \begin{align*} \Rightarrow -8m< \amp -1\\ \Rightarrow 8m> \amp 1\\ \Rightarrow m> \amp \dfrac{1}{8} \end{align*}

   Como as condições (\(a\) e \(k\)) são simultâneas, então a função será positiva para todo x real, se e somente se, \(m>\dfrac{1}{8}\text{.}\)

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3. Resolva a inequação \((x^2-8x+12)\cdot(x^2-5x)<0\text{.}\)

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   Solução.

   Precisamos resolver a inequação produto \(f\cdot g<0\text{.}\) Logo,

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   • Para \(f(x)=x^2-8x+12\text{,}\) temos:

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     Raízes: 2 e 6.

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     Concavidade virada para cima pois \(a=1>0\)

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     Graficamente:

     

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   • Para \(g(x)=x^2-5x\)

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     Raizes: 0 e 5

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     Concavidade virada para cima pois \(a=1>0\text{.}\)

     🔗
     Graficamente:

     

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   • Fazendo a intersecção dos intervalos, temos que:

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     \(S=\{x\in\mathbb{R}/0<x<2 \ ou \ 5<x<6\}\)

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Subseção 3.7 Máximos e Mínimos da Função Quadrática

1. (UFPB) O gráfico da função \(y =-\dfrac{1}{200}x²+\dfrac{1}{5}x\text{,}\) representado na figura a seguir, descreve a trajetória de um projétil, lançado a partir da origem. Sabendo-se que x e y são dados em quilômetros, determine a altura máxima H deste projétil.

   

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   Solução.

   Como a função quadrática etá na forma padrão, fica mais simples usar a fórmula do y do vértice da função, dada por \(y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}\text{.}\) Logo, temos que

   \begin{align*} y_v= \amp-\dfrac{\Delta}{4a} \\ y_v= \amp-\dfrac{b^2-4ac}{4a}\\ y_v= \amp-\dfrac{\left(\dfrac{1}{5}\right)^2}{4\cdot\dfrac{-1}{200}}\\ y_v= \amp-\dfrac{\dfrac{1}{25}}{\dfrac{-4}{200}} \\ y_v= \amp\dfrac{-1}{25}\cdot\dfrac{200}{-4} \\ y_v= \amp\dfrac{-200}{-100}\\ y_v= \amp 2 \end{align*}

   Portanto, o projétil alcança 2 km de altura.

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2. (Enem 2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

   

   Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?

   1. 16/3
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   2. 31/5
      🔗
   3. 25/4
      🔗
   4. 25/3
      🔗
   5. 75/2
      🔗

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   Solução.

   Vamos usar neste caso, a função quadrática na forma canônica já que sabemos alguns detalhes desta parábola. Por exemplo, o x do vértice, ou seja, o valor de m é igual a zero, pois podemos colocar o eixo de simetria coincidindo com o eixo y. Temos também as bases da abóbora que representam os zeros da função, ou seja, os pontos \((5,0)\) e \((-5,0)\text{.}\) Por fim, temos o ponto na curva da abóbora, dado por \((4,3)\text{.}\) Assim,

   \begin{align*} y= \amp a(x-m)^2+k \\ 0= \amp a(5-0)^2+k \\ 0= \amp 25a+k \\ -25a= \amp k \\ a\amp -\dfrac{k}{25} \end{align*}

   Para o ponto \((4,3)\text{,}\) temos:

   \begin{align*} y= \amp a(x-m)^2+k \\ 3= \amp -\dfrac{k}{25}(4-0)^2+k \\ 3= \amp -\dfrac{16k}{25}+\dfrac{25k}{25}\\ 3= \amp \dfrac{9k}{25}\\ 3\cdot25= \amp 9k\\ 75= \amp 9k\\ k = \amp \dfrac{75}{9}\\ k = \amp \dfrac{25}{3} \end{align*}

   Portanto, alternativa d.

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Subseção 3.8 Exercícios

1. Identifique qual das alternativas representa os zeros da função \(f(x)=(x-1)^2-1\text{.}\)

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   1. \(\displaystyle S=\{0,1\}\)
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   2. \(\displaystyle S=\{-2,0\}\)
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   3. \(\displaystyle S=\{0,2\}\)
      🔗
   4. \(\displaystyle S=\{-3,-1\}\)
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   Solução.

   \begin{equation*} (x-1)^2-1=0 \end{equation*}

   \begin{equation*} (x-1)^2=1 \end{equation*}

   \begin{equation*} x-1=\pm\sqrt1 \end{equation*}

   \begin{equation*} x-1=\pm1 \end{equation*}

   Abrindo dois casos:

   \begin{equation*} x-1=-1 \end{equation*}

   \begin{equation*} x=-1+1 \end{equation*}

   \begin{equation*} x=0 \end{equation*}

   e

   \begin{equation*} x-1=1 \end{equation*}

   \begin{equation*} x=1+1/ \end{equation*}

   \begin{equation*} x=2 \end{equation*}

   Portanto, \(S={\0,2\}\text{.}\)

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2. Localize entre as alternativas a seguir aquele que representa a solução das raízes da função quadrática \(f(x)=-2x^2+5x-3\text{.}\)

   1. \(\displaystyle S=\left\{1,\dfrac{3}{2}\right\}\)
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   2. \(\displaystyle S=\left\{-\dfrac{3}{2},0\right\}\)
      🔗
   3. \(\displaystyle S=\left\{0,\dfrac{1}{2}\right\}\)
      🔗
   4. \(\displaystyle S=\{1,2\}\)
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   Solução.

   Usaremos a fórmula de Bháscara para encontrar os zeros da função. Como \(a=-2\text{,}\) \(b=5\) e \(c=-3\text{,}\) temos que:

   \begin{equation*} \Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot(-3)=25-24=1 \end{equation*}

   \begin{equation*} x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-5\pm\sqrt1}{2\cdot(-2)}=\dfrac{-5\pm1}{-4} \end{equation*}

   Já que \(\Delta>0\text{,}\) temos dois zeros da função. São eles:

   \begin{equation*} x_1=\dfrac{-5+1}{-2}=\dfrac{-4}{-4}=1 \end{equation*}

   \begin{equation*} x_2=\dfrac{-5-1}{-2}=\dfrac{-6}{-4}=\dfrac{3}{2} \end{equation*}

   Portanto, a solução do exercício é: \(S=\left\{1,\dfrac{3}{2}\right\}\)

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3. Explique como mostrar graficamente os zeros das funções quadráticas \(f(x)=x^2-5x+6\text{,}\) \(g(x)=-\dfrac{(x-1)^2}{4}\) e \(h(x)=-3(x+1)^2-2\text{.}\)

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   Solução.

   Para a função \(f\text{,}\) usaremos as relações de girard. Logo,

   \begin{equation*} x_1+x_2= -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{(-5)}{1} = 5 \end{equation*}

   \begin{equation*} x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{1} = 6 \end{equation*}

   As raízes que satisfazem as equações são 2 e 3, pois 2+3=5 e 2x3=6. Portanto, \(S=\{2,3\}\text{.}\)

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   Para a função \(g\text{,}\) basta isolar a incógnita \(x\text{.}\) Logo,

   \begin{equation*} -\dfrac{(x-1)^2}{4}=0 \end{equation*}

   \begin{equation*} -(x-1)^2=0 \end{equation*}

   \begin{equation*} (x-1)^2=0 \end{equation*}

   \begin{equation*} x-1=\pm0 \end{equation*}

   \begin{equation*} x-1=0 \end{equation*}

   \begin{equation*} x=1 \end{equation*}

   Assim, a função \(g\) tem apenas um zero da função. Portanto, \(S=\{0\}\text{.}\)

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   Para a função \(h\) será análogo à função \(g\text{.}\)

   \begin{equation*} -3(x+1)^2-2=0 \end{equation*}

   \begin{equation*} -3(x+1)^2=2 \end{equation*}

   \begin{equation*} (x+1)^2=-\dfrac{2}{3} \end{equation*}

   \begin{equation*} x+1=\sqrt{-\dfrac{2}{3}} \end{equation*}

   Como raíz quadrada de números negativos não são definidas no conjunto dos números reais, então, segue que a solução do exercício é \(S=\{\}\text{.}\)

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   No gráfico, seguem as funções, sendo a função \(f\) com duas intersecções com o eixo x, a função \(g\) com apenas uma intersecção com o eixo x e a função \(h\) sem interseção com o eixo x.

   

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4. Associe cada gráfico de função quadrática e o valor do discriminante.

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   1. \(\displaystyle \Delta<0\)
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   2. \(\displaystyle \Delta=0\)
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   3. \(\displaystyle \Delta>0\)
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   1. 
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   2. 
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   3. 
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   Solução.

   Para \(\Delta<0\text{,}\) a parábola não intersecta o eixo x, portanto, gráfico III.

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   Para \(\Delta=0\text{,}\) a parábola intersecta o eixo x uma vez pois teremos apenas uma raíz da função, logo, gráfico II.

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   Para \(\Delta=>0\text{,}\) a paŕabola intersecta o eixo x duas vezes pois teremos dois zeros da função. Portanto, gráfico I.

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5. Calcule o discriminante das seguintes funções quadráticas:

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   1. \(\displaystyle f(x)=-2x^2+12x-16\)
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   2. \(\displaystyle g(x)=3x^2-18x+27\)
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   3. \(\displaystyle h(x)=4x^2+4\)
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   Solução.

   \begin{equation*} \Delta_f=12^2-4\cdot(-2)\cdot(-16)=144-128=16 \end{equation*}

   \begin{equation*} \Delta_g=(-18)^2-4\cdot(3)\cdot(27)=324-324=0 \end{equation*}

   \begin{equation*} \Delta_h=0^2-4\cdot(4)\cdot(4)=0-64=-64 \end{equation*}

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6. Mostre como encontrar o zero da função quadrática \(f(x)=2x^2-5x+3\) tanto na forma padrão quanto na forma canônica.

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   Solução.

   Na forma padrão, usaremos a fórmula de Bháscara. Logo,

   \begin{equation*} \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot(2)\cdot(3)=25-24=1>0 \end{equation*}

   Logo, temos duas raízes reais distintas.

   \begin{equation*} x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt1}{2\cdot2}=\dfrac{5\pm1}{4} \end{equation*}

   \begin{equation*} x=\dfrac{5+1}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} \end{equation*}

   \begin{equation*} x=\dfrac{5-1}{4}=\dfrac{4}{4}=1 \end{equation*}

   Portanto, \(S=\left\{1,\dfrac{3}{2}\right\}\)

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   Para a forma canônica, devemos passar a função quadrática na forma padrão para a canônica. Logo, temos que:

   \begin{equation*} f(x)=a\cdot(x-m)^2+k=a\cdot\left(x-\dfrac{-b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}=2\cdot\left(x-\dfrac{5}{2\cdot2}\right)^2+\dfrac{4\cdot2\cdot3-(-5)^2}{4\cdot2}=2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{1}{8} \end{equation*}

   Isolando x na igualdade \(f(x)=0\text{,}\) temos que:

   \begin{equation*} 2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{1}{8}=0 \end{equation*}

   \begin{equation*} 2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2=\dfrac{1}{8} \end{equation*}

   \begin{equation*} \left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2=\dfrac{1}{16} \end{equation*}

   \begin{equation*} x-\dfrac{5}{4}=\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}} \end{equation*}

   \begin{equation*} x-\dfrac{5}{4}=\pm\dfrac{1}{4} \end{equation*}

   Abrindo em dois casos, temos:

   \begin{equation*} x_1=\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} \end{equation*}

   \begin{equation*} x_2=\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{4}{4}=-1 \end{equation*}

   Portanto, \(S=\left\{1,\dfrac{3}{2}\right\}\)

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7. Resolva o seguinte problema:

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   (UFRJ) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de equação \(y = -\dfrac{1}{7}x^2+\dfrac{8}{7}x+2\text{,}\) na qual os valores de x e y são dados em metros. Oscar acerta o arremesso e o centro da bola passa pelo centro da cesta, que está a 3 m de altura. Determine a distância do centro da cesta ao eixo y.

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   Solução.

   Vamos encontrar para qual valor de x temos uma imagem igual a 3. Logo,

   \begin{equation*} y = -\dfrac{1}{7}x^2+\dfrac{8}{7}x+2=3 \end{equation*}

   \begin{equation*} y = -\dfrac{1}{7}x^2+\dfrac{8}{7}x+2-3=0 \end{equation*}

   \begin{equation*} y = -\dfrac{1}{7}x^2+\dfrac{8}{7}x-1=0 \end{equation*}

   \begin{equation*} \Delta=b^2-4ac \end{equation*}

   \begin{equation*} =\left(\dfrac{8}{7}\right)^2-4\cdot\left(-\dfrac{1}{7}\right)\cdot(-1) \end{equation*}

   \begin{equation*} =\left(\dfrac{64}{49}\right)-\left(\dfrac{4}{7}\right) \end{equation*}

   \begin{equation*} =\left(\dfrac{64}{49}\right)-\left(\dfrac{28}{49}\right) \end{equation*}

   \begin{equation*} =\dfrac{36}{49} \end{equation*}

   Como \(\Delta=\dfrac{36}{49}>0\text{,}\) então temos duas raízes reais distintas. Logo,

   \begin{equation*} x=\dfrac{-\dfrac{8}{7}\pm\sqrt{\dfrac{36}{49}}}{2\cdot\dfrac{-1}{7}} \end{equation*}

   \begin{equation*} x=\dfrac{-\dfrac{8}{7}\pm\dfrac{6}{7}}{-\dfrac{2}{7}} \end{equation*}

   Abrindo em dois casos, temos:

   \begin{equation*} x_1=\dfrac{-\dfrac{8}{7}-\dfrac{6}{7}}{-\dfrac{2}{7}}=\dfrac{-\dfrac{14}{7}}{-\dfrac{2}{7}}=7 \end{equation*}

   \begin{equation*} x_2=\dfrac{-\dfrac{8}{7}+\dfrac{6}{7}}{-\dfrac{2}{7}}=\dfrac{-\dfrac{2}{7}}{-\dfrac{2}{7}}=1 \end{equation*}

   Logo, para dois valores de x temos uma altura de 3 metros. São eles \(f(1)=3\) e \(f(7)=3\text{.}\) Portanto, como x e y são dados em metros, então \(x=7\) metros.

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8. Investigue para quais valores de \(m\) a função \(f(x)=x^2-8x+3m-2\) seja positiva para todo valor de x.

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   Solução.

   \begin{align*} \Delta \amp >0\\ (-8)^2-4\cdot1\cdot(3m-2) \amp >0 \\ 64-12m+8 \amp >0\\ 72-12m \amp >0\\ -12m \amp >-72\\ 12m \amp <72\\ m \amp <\dfrac{72}{12}\\ m \amp <6 \end{align*}

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   Veja o gráfico interativo quando mudamos os valores de m

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9. (UFRS) Uma bola colocada no chão é chutada para o alto, percorrendo uma trajetória descrita por \(y=-2x^2+12x\text{,}\) em que \(y\) é a altura dada em m. A altura máxima atingida pela bola é de:

   1. 36 m
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   2. 18 m
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   3. 12 m
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   4. 6 m
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   5. 3 m
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   Solução.

   Para encontrar a altura máxima basta calcular o vértice da função quadrática que é o ponto de máximo da parábola desenhada. Veja a imagem do gráfico.

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   Vamos calcular o vértice da função. Sendo \(a=-2\text{,}\) \(b=12\) e \(c=0\text{,}\) então:

   \begin{equation*} x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{12}{2\cdot(-2)}=3 \end{equation*}

   \begin{equation*} y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}=\dfrac{4\cdot(-2)\cdot0-12^2}{4\cdot(-2)}=\dfrac{-144}{-8}=18 \end{equation*}

   Portanto, a altura máxima atingida pela bola, no instante 3, é 18 m.

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10. Numa festa de São João, a convite de Antônio, Pedro disparou um rojão. No plano cartesiano, a trajetória do rojão obedeceu à seguinte lei:

    \begin{equation*} y=-\dfrac{2x^2}{45}+\dfrac{8x}{3} \end{equation*}

    

    Pergunta-se:

    1. Ele caiu antes ou depois da fogueira?
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    2. Qual foi a alturma máxima atingida pelo rojão?
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    Fonte: [4.23]
    Solução.

    Para saber se o rojão atirado por Pedro caiu antes ou depois da fogueira devemos calcular a segunda raíz da função quadrática, já que o menino se encontra na menor das raízes. Logo,

    \begin{equation*} \Delta=b^2-4ac \end{equation*}

    \begin{equation*} =\left(\dfrac{8}{3}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{-2}{45}\right)\cdot0 \end{equation*}

    \begin{equation*} =\dfrac{64}{9} \end{equation*}

    Como \(\Delta>0\) então temos duas raízes reais distintas. Assim,

    \begin{equation*} x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-\dfrac{8}{3}\pm\dfrac{8}{3}}{\dfrac{-4}{45}} \end{equation*}

    Abrindo em dois casos temos:

    \begin{equation*} x_1=\dfrac{-\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}}{\dfrac{-4}{45}}=\dfrac{0}{\dfrac{-4}{45}}=0 \end{equation*}

    \begin{equation*} x_2=\dfrac{-\dfrac{8}{3}-\dfrac{8}{3}}{\dfrac{-4}{45}}=\dfrac{\dfrac{-16}{3}}{\dfrac{-4}{45}}=\dfrac{-16}{3}\cdot\dfrac{45}{-4}=60 \end{equation*}

    Portanto, o rojão toca o solo em 60 m, depois da fogueira.

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    Para determinar a altura máxima atingida pelo rojão, utilizaremos a fórmula da ordenada do vértice da função. Logo,

    \begin{equation*} y_v=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{\dfrac{64}{9}}{4\cdot\dfrac{-2}{45}}=\dfrac{-64}{9}\cdot\dfrac{45}{-8}=40 \end{equation*}

    Portanto, 40 metros de altura.

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