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Section 2 Matrizes

Utilizamos matrizes ampliadas para resolver sistemas lineares nas seções anteriores. Nessa seção começamos a explorar outras aplicações de matrizes para estudar e resolver sistemas lineares. Ao fazer isso estamos criando uma estrutura que nos permite estudar transformações lineares e susas diversas aplicações.

Subsection 2.1 Matrizes e operações

Nessa seção formalizamos o conceito de matriz (que já temos utilizados) e como realizar operações aritméticas com elas.

Definition 2.1.

Uma matriz \(A = (a_{ij})\) \(m \times n\) é um arranjo de \(mn\) números (reais ou complexos, usualmente) em \(m\) linhas com \(n\) números cada.

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp \cdots \amp a_{1n}\\ a_{21} \amp a_{22} \amp \cdots \amp a_{2n}\\ \vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots\\ a_{m1} \amp a_{m2} \amp \cdots \amp a_{mn} \end{pmatrix} \end{equation*}

Denotamos de \(a_{ij}\) o número que está na \(i\)-ésima linha e \(j\)-ésima coluna e dizemos o elemento \(ij\) da matriz \(A\text{.}\)

As matrizes \(m \times 1\) são chamadas de vetores (coluna) e denotadas \(\vec{a}\text{:}\)

\begin{equation*} \vec{a} = \begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{m1} \end{pmatrix} \end{equation*}

Uma matriz \(1 \times n\) é um vetor linha: \(\vec{a}^T = (a_1, a_2, \ldots, a_n)\text{.}\)

Definition 2.2.

Duas matrizes \(A = (a_{ij})\) e \(B = (b_{ij})\text{,}\) ambas \(m \times n\text{,}\) são iguais se \(a_{ij} = b_{ij}\) para todo \(i \in \{0,1,2,\ldots,m\}\text{,}\) \(j \in \{0,1,2,\ldots,n\}\text{.}\) Por outro lado, \(A \neq B\) se existem \(i,j\) tais que \(a_{ij} \neq b_{ij}\) ou se as matrizes têm dimensões diferentes.

A soma de duas matrizes \(A = (a_{ij})\) e \(B = (b_{ij})\text{,}\) ambas \(m \times n\text{,}\) é a matriz \(C = (c_{ij})\text{,}\) \(m \times n\text{,}\) definida por \(c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\text{.}\) (somamos apenas matrizes com o mesmo número de linhas e colunas) Análogo para subtração.

O produto de um número real \(\alpha\) e uma matriz \(A = (a_{ij})\text{,}\) \(m \times n\text{,}\) é a matriz \(C = (c_{ij}),\) \(m \times n\text{,}\) definida por \(c_{ij} = \alpha a_{ij}\text{.}\)

O produto de uma matriz \(A = (a_{ij})\text{,}\) \(m \times n\text{,}\) e outra matriz \(B = (b_{ij})\text{,}\) \(n \times r\text{,}\) é a matriz \(AB = (c_{ij}),\) \(m \times r\text{,}\) definida por \(c_{ij} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \cdots + a_{in} b_{nj}\text{.}\) (o número de colunas de \(A\) precisa ser igual ao número de linhas de \(B\)).

A \(n\)-ésima potência de uma matriz quadrada \(A = (a_{ij})\text{,}\) \(m \times m\text{,}\) é a matriz \(A^n : = A \ldots A.\) (o prudoto de \(n\) cópias da matriz \(A\)).

Sejam

\begin{equation*} \alpha = 7; \,\,\, \beta = 1/2; \,\, A = \begin{pmatrix} 2 \amp -1 \amp 0\\ 1 \amp -1 \amp 1\\ 2 \amp 0 \amp -2\\ 3 \amp 1 \amp -1 \end{pmatrix}\,\,\, B = \begin{pmatrix} 3 \amp -2 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp -1\\ 1 \amp 1 \amp -1 \end{pmatrix} \end{equation*}
\begin{equation*} C = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp -1 \amp -1 \amp -1\\ 2 \amp 0 \amp 2 \amp 1\\ 2 \amp 1 \amp -1 \amp 0 \end{pmatrix}\,\,\, D = \begin{pmatrix} 1 \amp -2 \amp 1 \\ 1 \amp 1 \amp -1 \\ 1 \amp 2 \amp 0 \end{pmatrix}\,\,\, \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2\\ -1 \end{pmatrix}\,\,\, \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

Determine se é possível realizar as seguintes operações. Caso seja, determine o resultado

  1. \(\alpha B\text{;}\)

  2. \(\beta \vec{v}\text{;}\)

  3. \(A + B\text{;}\)

  4. \(B - D\text{;}\)

  5. \(2\vec{v}-3\vec{u}\text{;}\)

  6. \(AB\text{;}\)

  7. \(BA\text{;}\)

  8. \(\displaystyle A\vec{u}\)

Os códigos a seguir podem ser utilizados para realizar operações básicas com matrizes.

Matrizes no Python.

Matrizes de zeros e uns.

Mostrar linhas ou elementos.

Soma e produto.

Sejam

\begin{equation*} \alpha = 2; \,\,\, \beta = 1/3; \,\, A = \begin{pmatrix} 5 \amp -1 \amp 1\\ 2 \amp -1 \amp 1\\ 2 \amp -2 \amp -1\\ 0 \amp 1 \amp -1 \end{pmatrix}\,\,\, B = \begin{pmatrix} 1 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp 3 \amp -1\\ 2 \amp 1 \amp -1 \end{pmatrix} \end{equation*}
\begin{equation*} C = \begin{pmatrix} 2 \amp 1 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp -4 \amp -1 \amp -2\\ 3 \amp 1 \amp 3 \amp -1\\ -2 \amp -1 \amp 2 \amp 1 \end{pmatrix}\,\,\, D = \begin{pmatrix} -1 \amp 2 \amp -1 \\ -1 \amp -1 \amp 1 \\ -1 \amp 0 \amp 2 \end{pmatrix}\,\,\, \vec{v} = \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\,\,\, \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2\\ 2 \end{pmatrix} \end{equation*}

Determine se é possível realizar as seguintes operações. Caso seja, determine o resultado

  1. \(\displaystyle \alpha B;\)

  2. \(\displaystyle \beta \vec{v};\)

  3. \(\displaystyle A + B;\)

  4. \(\displaystyle B - D;\)

  5. \(\displaystyle 2\vec{v}-3\vec{u};\)

  6. \(\displaystyle AB;\)

  7. \(\displaystyle BA;\)

  8. \(\displaystyle A\vec{u};\)

  9. \(\displaystyle C\vec{u}.\)

Para as matrizes

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp \cdots \amp a_{1n}\\ a_{21} \amp a_{22} \amp \cdots \amp a_{2n}\\ \vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots\\ a_{m1} \amp a_{m2} \amp \cdots \amp a_{mn} \end{pmatrix}, \,\,\, \vec{x} = \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix} \end{equation*}

temos

\begin{equation*} A\vec{x} = \begin{pmatrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + \amp a_{1n} x_n\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + \amp a_{2n} x_n\\ \vdots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + \amp a_{mn} x_n \end{pmatrix} \end{equation*}

Para as matrizes

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13} \amp a_{14}\\ a_{21} \amp a_{22} \amp a_{23} \amp a_{24}\\ a_{31} \amp a_{32} \amp a_{33} \amp a_{34} \end{pmatrix}, \,\,\, \vec{x} = \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4} \end{pmatrix} \end{equation*}

calcule

\begin{equation*} A\vec{x}. \end{equation*}

No estudo de uma doença consideramos as pessoas de uma determinada população divididas em 3 grupos: saudáveis (S), doentes (D) e resistentes (R). Suponha que temos uma população inicial de 90.000 S e 10.000 D. Além disso suponha que, a cada ciclo da doença, \(10\%\) das pessoas saudáveis ficam doentes, nenhuma adquire resistência antes de ficar doente, \(10\%\) das doentes morrem, \(30\%\) das doentes se recuperam e adquirem resistência, as outras doentes continuam doentes, \(50\%\) das pessoas com resistência permanece com a resistência e \(50%\) das pessoas com resistência, perde a resistência (mas continua saudável).

Qual o total de pessoas em cada categoria (SDR) após 1 ciclo, após 2 ciclos, após 10 ciclos e após 50 ciclos?

No estudo de uma doença consideramos as pessoas de uma determinada população divididas em 3 grupos: saudáveis (S), doentes (D) e resistentes (R). Suponha que temos uma população inicial de 90.000 S e 10.000 D. Além disso suponha que, a cada ciclo da doença, \(20\%\) das pessoas saudáveis ficam doentes, nenhuma adquire resistência antes de ficar doente, \(5\%\) das doentes morrem, \(30\%\) das doentes se recuperam, \(30\%\) das doentes se recuperam adquirem resistência, as outras doentes continuam doentes, \(80\%\) das pessoas com resistência permanece com a resistência e \(50%\) das pessoas com resistência, perde a resistência (mas continua saudável).

Qual o total de pessoas em cada categoria (SDR) após 1 ciclo, após 2 ciclos, após 10 ciclos e após 50 ciclos?

Subsection 2.2 Representação Matricial e Multiplicação de Matrizes

Observamos no exemplo 2.5 que

\begin{equation*} A\vec{x} = \begin{pmatrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + \amp a_{1n} x_n\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + \amp a_{2n} x_n\\ \vdots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + \amp a_{mn} x_n \end{pmatrix} \end{equation*}

desse modo, o sistema linear

\begin{equation*} A\vec{x} = \begin{array}{c} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + \amp a_{1n} x_n = b_1,\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + \amp a_{2n} x_n = b_2,\\ \vdots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + \amp a_{mn} x_n = b_m, \end{array} \end{equation*}

é equivalente à equação matricial

\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp \cdots \amp a_{1n}\\ a_{21} \amp a_{22} \amp \cdots \amp a_{2n}\\ \vdots\\ a_{m1} \amp a_{m2} \amp \cdots \amp a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix} =\vec{b} \end{equation*}

onde \(\vec{b}\) é o nome que damos ao vetor \((b_1, b_2, \cdots, b_m)\text{.}\) Assim um sistema linear pode ser escrito na forma \(A\vec{x} = \vec{b}\text{.}\) Chamamos essa forma de forma matricial do sistema. Isso é particularmente importante pois é análogo à equação linear \(ax=b\text{,}\) cuja solução é \(x=b/a\text{.}\)

A demonstração baseia-se em efetuar as operações nos coeficientes e fica a aorgo do leitor como exercício opcional.

Para cada uma das propriedades no Theorem 2.9, dê exemplos de constantes e matrizes para as quais as operações fazem sentido. Em seguida calcule o lado esquerdo e o lado direito de cada igualdade e verifique que o mesmo resultado é obtido. Verifique seua cálculos utilizando os códigos em python.

Remark 2.11.
Os produtos matriciais \(AB\) e \(BA\) só fazem sentido se ambas \(A\) e \(B\) são matrizes quadradas de mesma dimensão \(n \times n\text{.}\) Todavia \(AB \neq BA\) em geral.

Defina matrizes \(3 \times 3\text{,}\) \(A, B\text{,}\) tais que \(AB \neq BA\) e calcule \(AB\) e \(BA\text{.}\) Em seguida comprove seus cálculos utilizando o computador.

Definition 2.13.

Seja \(A\) uma matrix \(m \times n\text{.}\) A transposta de \(A\text{,}\) denotada \(A^T\) é a matriz \(n \times m\text{,}\) \(B = (b_{ij})\) definida através de \(b_{ij} = a_{ji}.\text{.}\)

  1. Para \(A = \begin{pmatrix} 1 \amp -1 \amp 2 \\ -2 \amp 4 \amp 3 \end{pmatrix}\text{,}\) a transposta é a matriz \(A^T = \begin{pmatrix} 1 \amp -2 \\ -1 \amp 4 \\ 2 \amp 3 \end{pmatrix}\text{.}\)

  2. Para \(A = \begin{pmatrix} 1 \amp -1 \amp 2 \\ -2 \amp 4 \amp 3 \\ 2 \amp 1\amp -2\end{pmatrix}\text{,}\) a transposta é a matriz \(A^T = \begin{pmatrix} 1 \amp -2 \amp 2\\ -1 \amp 4 \amp 1\\ 2 \amp 3 \amp -2 \end{pmatrix}\text{.}\)

  3. Para \(A = \begin{pmatrix} 1 \amp -1 \amp 2 \\ -1 \amp 4 \amp 3 \\ 2 \amp 3\amp -2\end{pmatrix}\text{,}\) a transposta é a matriz \(A^T = \begin{pmatrix} 1 \amp -1 \amp 2 \\ -1 \amp 4 \amp 3 \\ 2 \amp 3\amp -2 \end{pmatrix}\text{.}\)

Definition 2.15.

Se \(A = A^T\text{,}\) dizemos que \(A\) é uma matriz simétrica.

A demonstração baseia-se em efetuar as operações nos coeficientes e fica a aorgo do leitor como exercício opcional.

Para cada uma das propriedades no Theorem 2.16, dê exemplos de constantes e matrizes para as quais as operações fazem sentido. Em seguida calcule o lado esquerdo e o lado direito de cada igualdade e verifique que o mesmo resultado é obtido. Verifique seua cálculos utilizando os códigos em python.

Definition 2.18.

A matrix identidade, \(I\text{,}\) \(n \times n\text{,}\) \(I=(\delta_{ij})\text{,}\) onde \(\delta_{ij} = 0\text{,}\) se \(i\neq j\text{,}\) e \(\delta_{ij} = 1\text{,}\) se \(i = j\text{.}\)

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp \cdots \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp \cdots \amp 0\\ \vdots\\ 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
A demonstração baseia-se em efetuar as operações nos coeficientes e fica a aorgo do leitor como exercício opcional.
Definition 2.20.

Uma matrix \(A\text{,}\) \(n \times n\text{,}\) é inversível (também chamada de não singular) se existe uma matriz \(B\text{,}\) \(n \times n\text{,}\) tal que \(AB = BA = I\text{.}\) \(B\) é dita a matriz inversa de \(A\) e denotada \(A^{-1}=B\text{.}\)

  1. Para \(A = \begin{pmatrix} 1 \amp -1\\ -2 \amp 4 \end{pmatrix}\) a inversa é matriz \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 \amp 1/2 \\ 1 \amp 1/2 \end{pmatrix}\) pois \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\text{.}\)

  2. Para \(A = \begin{pmatrix} -1 \amp 2\\ 2 \amp 3 \end{pmatrix}\) a inversa é matriz \(A = \begin{pmatrix} -3/7 \amp 2/7\\ 2/7 \amp 1/7 \end{pmatrix}\) pois \(AA^{-1} = A^{-1}A=I\text{.}\)

Remark 2.22.
Se \(ad-bc \neq 0\text{,}\) então a matriz
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a \amp b \\ c \amp d \end{pmatrix} \end{equation*}
é inversível e
\begin{equation*} A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d \amp -b \\ -c \amp a \end{pmatrix}. \end{equation*}
Como pode ser verificado diretamente calculando \(AA^{-1}\) e \(A^{-1}A\text{.}\)
Remark 2.23.
Um sistema linear escrito na forma matricial \(A\vec{x} = \vec{b}\text{,}\) pode ser resolvido multiplicando à esquerda ambos os lados da equação por \(A^{-1}\text{,}\) se \(A\) é inversível:
\begin{equation*} \vec{x} = (A^{-1}A)\vec{x} = A^{-1}(A\vec{x}) = A^{-1}\vec{b}. \end{equation*}

Escreva o sistema abaixo na forma matricial, \(A\vec{x} = \vec{b}\text{,}\) calcule \(A^{-1}\text{,}\) e resolva o sistema calculando \(\vec{x} = A^{-1}\vec{b}\text{.}\) Compare suas soluções com os resultados obtidos pelo método de Gauss-Jordan.

\begin{equation*} \begin{array}{c} x + 2 y = 3,\\ 2 x - y = 2. \end{array} \end{equation*}

Escreva o sistema abaixo na forma matricial, \(A\vec{x} = \vec{b}\text{,}\) calcule \(A^{-1}\text{,}\) e resolva o sistema calculando \(\vec{x} = A^{-1}\vec{b}\text{.}\) Compare suas soluções com os resultados obtidos pelo método de Gauss-Jordan.

\begin{equation*} \begin{array}{c} -1 x - y = 2,\\ 2 x + 3y = -1. \end{array} \end{equation*}

Subsection 2.3 Matrizes elementares

Observe as seguintes multiplicações matriciais e tente descrever o efeito que as matrizes à esquerda têm sobre as matrizes à direita.

  1. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 4\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ -1 \amp -3 \amp -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 0\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{pmatrix}\)

  2. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0\\ 1 \amp 0 \amp 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 4\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ -1 \amp -3 \amp -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0\\ 1 \amp 2 \amp 4 \end{pmatrix}\)

  3. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 4 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 4\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ -1 \amp -3 \amp -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \amp 8 \amp 16\\ 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \end{pmatrix}\)

  4. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0\\ -1 \amp 0 \amp 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 4\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ -1 \amp -3 \amp -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0\\ -1 \amp -2 \amp -4 \end{pmatrix}\)

Observe as seguintes multiplicações matriciais e tente descrever o efeito que as matrizes à esquerda têm sobre as matrizes à direita.

  1. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 1 \amp 0 \amp 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 4\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ -1 \amp -3 \amp -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \amp -3 \amp -9\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ 1 \amp 2 \amp 4 \end{pmatrix}\)

  2. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 4\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ -1 \amp -3 \amp -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 4\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ -5 \amp -15 \amp -45 \end{pmatrix}\)

  3. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 4\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ -1 \amp -3 \amp -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 4\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ 2 \amp 6 \amp 18 \end{pmatrix}\)

  4. \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0\\ 2 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 4\\ 3 \amp 9 \amp 27\\ -1 \amp -3 \amp -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 4\\ 5 \amp 13 \amp 25\\ -1 \amp -3 \amp -9 \end{pmatrix}\)

Uma matriz elementar do tipo I é obtida trocando duas linhas da matriz identidade \(I\text{.}\) Com frequência denotamos uma matriz elementar do tipo I por \(E_1\) ou \(T_{ij}\) para indicar que trocamos a linha \(i\) pela linha \(j\text{.}\) Multiplicar uma matriz \(A\) por \(E_1\) à esquerda, ou seja, calcular \(E_1A\text{,}\) tem o efeito de trocar as duas linhas da matriz \(A\) correspondentes às linhas trocadas na matriz \(I\text{.}\)

\(T_{31} A = E_1 A = \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 1 \amp 0 \amp 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13}\\ a_{21} \amp a_{22} \amp a_{23}\\ a_{31} \amp a_{32} \amp a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{31} \amp a_{32} \amp a_{33}\\ a_{21} \amp a_{22} \amp a_{23}\\ a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13} \end{pmatrix}\)

Uma matriz elementar do tipo II é obtida multiplicando uma linha da matriz identidade \(I\) por uma constante não nula. Com frequência denotamos uma matriz elementar do tipo II por \(E_2\) ou \(D_{i}(\alpha)\) para indicar que multiplicamos a linha \(i\) por \(\alpha\text{.}\) Multiplicar uma matriz \(A\) por \(E_2\) à esquerda, ou seja, calcular \(E_2A\text{,}\) tem o efeito de multiplicar pela constatne a linha da matriz \(A\) correspondente.

\(D_{3}(\alpha) A = E_2 A = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13}\\ a_{21} \amp a_{22} \amp a_{23}\\ a_{31} \amp a_{32} \amp a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13}\\ a_{21} \amp a_{22} \amp a_{23}\\ \alpha a_{31} \amp \alpha a_{32} \amp \alpha a_{33} \end{pmatrix}\)

Uma matriz elementar do tipo III é obtida somando uma linha da matriz identidade \(I\) a uma outra linha multiplicada por uma constante não nula. Com frequência denotamos uma matriz elementar do tipo III por \(E_3\) ou \(U_{ij}(\alpha)\) para indicar que somamos a linha \(i\) multiplicada por \(\alpha\) à linha \(j\text{.}\) Multiplicar uma matriz \(A\) por \(E_3\) à esquerda, ou seja, calcular \(E_3A\text{,}\) tem o efeito de adicionar a linha da matriz \(A\) outra linha multiplicada por uma constante.

\(U_{23} (\alpha) A =E_3 A = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp \alpha \amp 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13}\\ a_{21} \amp a_{22} \amp a_{23}\\ a_{31} \amp a_{32} \amp a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13}\\ a_{21} \amp a_{22} \amp a_{23}\\ \alpha a_{21} + a_{31} \amp \alpha a_{22} + a_{32} \amp \alpha a_{23} + a_{33} \end{pmatrix}\)
Remark 2.31.
Multiplicar por uma matriz elementar à esquerda corresponde a realizar uma das operações elementares nas linhas da matriz \(A\text{.}\)
Verificamos diretamente efetuando as multiplicações.

Encontre as inversas das matrizes a seguir e verifique que a resposta está correta calculando o produto da matriz original com a matriz inversa.

  1. \(\displaystyle E_1 = \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 1\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 1 \amp 0 \amp 0 \end{pmatrix}.\)

  2. \(\displaystyle E_2 =\begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 5 \end{pmatrix}. \)

  3. \(\displaystyle E_3 = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp 1 \end{pmatrix}. \)

Se for possível realizar operações nas linhas de uma matriz \(A\) até transformá-la na identidade, existem matrizes elementares \(E_1, E_2, \ldots, E_k\) (correspondentes às operações realizadas) tais que:

\begin{equation*} E_k \ldots E_2 E_1 A = I, \end{equation*}

ou seja, ao multiplicar \(A\) por \((E_k \ldots E_2 E_1)\) à esquerda obtemos a identidade. Assim \(A^{-1} = E_k \ldots E_2 E_1\text{.}\)

Por outro lado, observe que se calcularmos o produto de \((E_k \ldots E_2 E_1)\) com a matriz ampliada \((A|I)\) temos:

\begin{equation*} (E_k \ldots E_2 E_1)(A|I) = (I| E_k \ldots E_2 E_1) = (I|A^{-1}), \end{equation*}

Ou seja, ao aplicarmos eliminação de Gauss-Jordan à matriz ampliada \((A|I)\text{,}\) obteremos a inversa de \(A\) no lado direito, quando tivermos a matriz identidade \(I\) no lado esquerdo.

Utilize o método da Gauss-Jordan para encontrar as inversas das matrizes a seguir, se possível:

  1. \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \amp -1 \\ -2 \amp 1 \amp -1\\ 0 \amp 1 \amp 1\end{pmatrix},\)

  2. \(\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 1 \\ -1 \amp 1 \amp -1\\ -2 \amp 0 \amp 2\end{pmatrix},\)

  3. \(\displaystyle C = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 1 \\ -1 \amp 1 \amp -1\\ 0 \amp 3 \amp 0\end{pmatrix},\)

  4. \(\displaystyle D = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 1 \amp 2 \\ -1 \amp 1 \amp -1 \amp 1\\ -2 \amp 0 \amp 2 \amp 0 \\ 1 \amp -1 \amp -1 \amp 1 \end{pmatrix}.\)

Verifique, calculando o produto, que as matrizes obtidas no exercício anterios são, de fato, inversas.

Subsection 2.4 Determinantes

Definition 2.36.

Seja \(A = (a_{ij})\) uma matriz \(n \times n\text{.}\) A submatriz \(M_{ij}\) é a matriz \((n-1) \times (n-1)\) obtida removendo a \(i\)-ésima linha e a \(j\)-ésima coluna de A. Definimos, recursivamente, o determinante de \(A\text{,}\) \(\det(A)\) ou \(|A|\text{,}\) por:

  1. Se \(A\) é uma matriz \(1 \times 1\text{,}\) \(A = (a_{11})\text{,}\) \(\det(A) = a_{11}\text{.}\)

  2. Supondo que está definido o determinante de uma matriz \((n-1)\times(n-1)\text{,}\) definimos o determinante de uma matriz \(A\text{,}\) \(n \times n\text{,}\) como:

\begin{align*} \det(A) =\amp a_{11} (-1)^{1+1}\det(M_{11}) + a_{12} (-1)^{1+2}\det(M_{12}) + \cdots + a_{1n} (-1)^{1+2}\det(M_{1n})\\ =\amp\sum_{j=1}^n a_{1j} (-1)^{1+j}\det(M_{1j}) =\sum_{j=1}^n a_{1j} A_{1j}. \end{align*}

Para cada \(1 \leq i,j \leq n\text{,}\) chamamos o número \(A_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ij}),\) de cofator do elemento \(a_{ij}\text{.}\) A soma acima é chamada de expansão em cofatores pela primeira linha de \(A\text{.}\)

Seja

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a \end{pmatrix}. \end{equation*}

Seja

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a \amp b \\ c \amp d \end{pmatrix}. \end{equation*}

Seja

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13} \\ a_{21} \amp a_{22} \amp a_{23} \\ a_{31} \amp a_{32} \amp a_{33} \end{pmatrix}. \end{equation*}

Seja

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a_{11} \amp a_{12} \amp a_{13} \amp a_{14} \\ a_{21} \amp a_{22} \amp a_{23} \amp a_{24} \\ a_{31} \amp a_{32} \amp a_{33} \amp a_{34} \\ a_{41} \amp a_{42} \amp a_{43} \amp a_{44} \end{pmatrix}. \end{equation*}
A completar.

Seja

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \\ 2 \amp 3 \amp -2 \\ 2 \amp 1 \amp -2 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Calcule o determinante de cada uma das matrizes a seguir duas vezes, utilizando a expansão em cofatores da linha \(2\) e da coluna \(3\text{.}\) Após utilize o código abaixo para conferir seus resultados.

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \amp 2 \\ -1 \amp -1 \amp 1 \\ -2 \amp -1 \amp 1 \end{pmatrix}, \,\,\,\,\, B = \begin{pmatrix} 2 \amp -1 \amp 1 \\ -1 \amp 1 \amp -1 \\ 2 \amp 2 \amp 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
A completar.

Para cada uma das propriedades acima, construa exemplos de matrizes \(3 \times 3\) verificando que as propriedades se aplicam. Verifique seus cálculos utilizando os códigos em python disponibilizados.

Remark 2.46.
Chamamos de adjunta de uma matriz \(A\text{,}\) e denotamos \(\mbox{adj}(A)\text{,}\) à matriz de cofatores de \(A\) transposta.
\begin{equation*} \mbox{adj}(A) = \begin{pmatrix} A_{11} \amp A_{21} \amp \cdots \amp A_{n1} \\ A_{12} \amp A_{22} \amp \cdots \amp A_{n2} \\ \vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \vdots \\ A_{1n} \amp A_{2n} \amp \cdots \amp A_{nn} \end{pmatrix}, \end{equation*}
onde \(A_{ij}\) é o cofator associado ao elemento \(a_{ij}\) da matriz \(A\text{.}\)
A completar.

Cálculo da matriz inversa utilizando a matriz de cofatores:

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \\ 2 \amp 3 \amp -2 \\ 2 \amp 1 \amp -2 \end{pmatrix} \end{equation*}

Calcule as inversas das matrizes a seguir pelo método dos cofatores e utilize o código abaixo para verificar se suas respostas estão corretas.

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \amp 2 \\ -1 \amp -1 \amp 1 \\ -2 \amp -1 \amp 1 \end{pmatrix}, \,\,\,\,\, B = \begin{pmatrix} 2 \amp -1 \amp 1 \amp 0 \\ -1 \amp 1 \amp -1 \amp 1 \\ 2 \amp 2 \amp 1 \amp -1 \\ 1 \amp -1 \amp -1 \amp 2 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Subsection 2.5 Aplicação: mensagens codificadas

Mandar mensagens em código é fundamental na sociedade moderna. Não queremos que nossas mensagens privadas sejam vistas por estranhos na internet, que eles tenham acesso a imagens privadas, dados pessoas ou informações detalhadas sobre nossa saúde. A privacidade de outras informações é relevante por questões de segurança, como dados financeiros (incluindo senhas), endereços e outras.

Existem diversas formas de codificar mensagens. A maneira mais simples seja, talvez, simplesmente trocar letras por números (na lista abaixo \(\_\) representa um espaço):

\begin{equation*} \begin{array}{cccccc} {\_} \amp A \amp B \amp C \amp \cdots \amp Z \\ 0 \amp 1 \amp 2 \amp 3 \amp \cdots \amp 26 \end{array} \end{equation*}

Assim a mensagem SEGUE O BARCO seria codificada por [19., 5., 7., 21., 5., 0., 15., 0., 2., 1., 18., 3., 15.]. O código abaixo pode ser utizado para codificar uma mensagem assim.

Podemos desfazer essa operação com o código a seguir:

Escreva uma mensagem curta (pode ser uma palavra apenas), converta a mensagem em números manualmente e verifique que os "outputs" dos códigos acima correspondem ao que você obteve para a sua mensagem.

Esse código seria fácil de ser quebrado, podemos melhorá-lo se embaralharmos as letras. Para isso precisamos criar um mapa que troca as posições dos números na lista \(0, 1, 2, \ldots, 26\text{.}\) Uma maneira de fazer isso é multiplicar o vetor coluna \((0, 1, 2, \ldots, 26)^T\) por uma matriz de permutação, que é obtida trocando linhas das matriz identidade. Por exemplo, para trocar as posições das letras \(({\_}, A, B, C, D)\) para \((B, {\_}, A, D, C)\) multiplicamos à esquerda o vetor \((0, 1, 2, 3, 4)^T\) pela matriz de permutação \(P \) a seguir, obtendo o vetor \(\vec{b}\) indicando a posição na lista dos símbolos \({\_}, A, B, C, D,\) respectivamente:

\begin{equation*} P\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \\ 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0\\ 4\\ 3 \end{pmatrix} \end{equation*}

Desse modo a palavra "ABA", ficaria codificada como "[2, 0, 2]". Podemos fazer um código que codifique uma mensagem trocando letras do seguinte modo:

Remark 2.51.
A inversa de uma matriz de permutações é igual a sua transposta (isso não vale para qualquer matriz).

Alguém que conheça a permutação que utilizamos pode desfazer a codificação multiplicando à esquerda o vetor \(\vec{b}\) pela inversa (= transposta, nesse caso) da matriz de permutação.

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix} = P^T \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \\ 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0\\ 4\\ 3 \end{pmatrix} \end{equation*}

O código a seguir desfaz a permutação para decodificar a mensagem:

(Em dupla) Crie uma mensagem, codifique-a utilizando uma matriz de permutações e envie a matriz e a mensagem cifrada para um colega. Receba uma mensagem cifrada e a respectiva matriz de permutações de um colega e decodifique-a.

Outra maneira de tentar encriptar uma mensagem seria utilizar uma matriz para embaralhá-la. Começamos com uma mensagem, substituímos as letras por números, quebramos a lista de números em \(n\) linhas (preenchendo com zeros no final, se necessário). Multiplicamos à esquerda o resultado por uma matriz \(n \times n\) inversível (conhecida pelo remetente (nós) e pelo destinatário). O destinatário multiplica à esquerda o dado enviado e pode desfazer o código.

Por exemplo, a palavra \(CARRO\) seria codificada como \([3, 1, 18, 18, 15]\text{,}\) que poderia ser quebrada em 3 linhas formando a matriz

\begin{equation*} M = \begin{pmatrix} 3 \amp 1 \\ 18 \amp 18\\ 15 \amp 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}
Em seguida multiplicaríamos essa matriz por uma matriz inversível \(A\) (combinada entre as partes), por exemplo:
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \amp 1 \\ 0 \amp -1 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp - 1\end{pmatrix}. \end{equation*}
Então enviamos a mensagem criptografada, \(C\text{:}\)
\begin{equation*} C = A \times M = \begin{pmatrix} 36 \amp 19 \\ -3 \amp -18\\ -15 \amp 0 \end{pmatrix} \end{equation*}
O destinatário multiplica essa matriz à esquerda por \(A^{-1}\) para retornar a matriz original e conseguir desvendar o código.
\begin{equation*} M = A^{-1} C = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \amp 2\\ 0 \amp -1 \amp -1 \\ 0 \amp 0 \amp - 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 36 \amp 19 \\ -3 \amp -18\\ -15 \amp 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Os códigos a seguir prepara a mensagem para enviar.

O código a seguir desfaz multiplicação matricial e decodifica a mensagem:

(Em dupla) Crie uma mensagem, codifique-a utilizando uma matriz secreta \(A\) e envie a matriz e a mensagem cifrada para um colega. Receba uma mensagem cifrada e a respectiva secreta de um colega e decodifique-a.

Subsection 2.6 Decomposição LU

Definition 2.54.

Uma matriz \(A\) é dita triângular superior se \(a_{ij} = 0\) para \(i \gt j \text{.}\)

Uma matriz \(A\) é dita triângular inferior se \(a_{ij} = 0\) para \(i \lt j \text{.}\)

Dizemos que \(A\) é triângular se ela for triângular superior ou triângular inferior.

Uma matriz \(A\) é dita diagonal se \(a_{ij} = 0\) para \(i \neq j \text{.}\)

Matrizes triangulares inferiores:

\begin{equation*} L = \begin{pmatrix} 2 \amp 0 \amp 0 \\0 \amp 3\amp 0\\ 1 \amp 4\amp 5\end{pmatrix}, \,\,\, A = \begin{pmatrix} 0\amp 0 \amp 0 \\ 2 \amp 2 \amp 0 \\ -1\amp 0 \amp 1 \end{pmatrix}, \,\,\, B = \begin{pmatrix} 4 \amp 0 \\ 1 \amp 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Matrizes triangulares superiores:

\begin{equation*} U = \begin{pmatrix} 2 \amp 0 \amp 1 \\0 \amp 3\amp 3\\ 0 \amp 0\amp 5\end{pmatrix}, \,\,\, A = \begin{pmatrix} 1\amp 0 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 4 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \end{pmatrix}, \,\,\, B = \begin{pmatrix} 4 \amp -1 \\ 0 \amp 2 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Matrizes diagonais:

\begin{equation*} D = \begin{pmatrix} 2 \amp 0 \amp 0 \\0 \amp 3\amp 0\\ 0 \amp 0\amp 2\end{pmatrix}, \,\,\, A = \begin{pmatrix} 0\amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 7 \end{pmatrix}, \,\,\, B = \begin{pmatrix} 4 \amp 0 \\ 0 \amp -2 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Todas as matrizes dos três exemplos anteriores são triângulares.

Muitas matrizes podem ser decompostas como o produto de uma matriz triângular inferior \(L\) e uma matriz triângular superior, \(U.\) Observe que, por exemplo, a matriz

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \amp 2 \\ 3 \amp -1 \amp 10 \\ 3 \amp 5 \amp 0 \end{pmatrix} \end{equation*}

é igual ao produto das matrizes:

\begin{equation*} L = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 3 \amp 4 \amp 0 \\ 3 \amp -2 \amp 2 \end{pmatrix}, \,\,\, U = \begin{pmatrix} 1 \amp 1 \amp 2 \\ 0 \amp -1 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp -2 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Vamos realizar operações elementares do tipo III na matriz a seguir para "transformá-la" em uma matriz triângular superior.

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 2 \amp 4 \amp 2 \\ 1 \amp 5 \amp 2 \\ 4 \amp -1 \amp 9 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 \amp 4 \amp 2 \\ 0 \amp 3 \amp 1 \\ 0 \amp -9 \amp 5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 \amp 4 \amp 2 \\ 0 \amp 3 \amp 1 \\ 0 \amp 0 \amp 8 \end{pmatrix} = U. \end{equation*}

Todavia as operações elementares realizadas têm o mesmo efeito que multiplicar pelas seguintes matrizes elementares.

\begin{equation*} E_1 = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \\ -1/2 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \end{pmatrix}, \,\, E_2 = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ -2 \amp 0 \amp 1 \end{pmatrix}, \,\, E_3 = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 3 \amp 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Ou seja, encontramos que \(U = E_3E_2E_1 A\text{,}\) o que é equivalente à \(E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1} U = A\text{.}\) Todavia:

\begin{equation*} E_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 1/2 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \end{pmatrix}, \,\, E_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 2 \amp 0 \amp 1 \end{pmatrix}, \,\, E_3^{-1} = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp -3 \amp 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Assim, \(A = LU\text{,}\) com:

\begin{equation*} L = E_1^{-1} E_2^{-1} E_3^{-1} = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \\2 \amp -5/2 \amp 0 \\ 2 \amp -3 \amp 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Escreva a matriz a seguir como o produto de uma matriz triângular inferior e uma matriz triângular superior.

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \\ 4 \amp 5 \amp 6 \\ 7 \amp 8 \amp 9 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Escreva a matriz a seguir como o produto de uma matriz triângular inferior e uma matriz triângular superior.

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 3 \amp 3 \\ 2\amp 2 \amp 6 \\ 2 \amp 5 \amp -1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Se temos um sistema linear escrito na forma matricial \(A\vec{x} = \vec{b}\) e temos a decomposição \(A = LU\text{,}\) podemos definir \(\vec{y} = U \vec{x}\) e resolver

\begin{equation*} L \vec{y} = \vec{b}, \,\,\, U \vec{x} = \vec{y}, \end{equation*}

onde a solução de cada um desses sistemas é encontrada, simplesmente, por substituição reversa.

Vamos resolver o exemplo.

\begin{equation*} \begin{array}{l} 2x + 4y + 2 z = 2 \\ x + 5y + 2z = 1 \\ 4x -y + 9z = -3 \end{array} \end{equation*}

Resolva o sistema linear utilizando decomposição LU:

\begin{equation*} \begin{array}{l} x + 2y + 3 z = 2 \\ 4x + 5y + 6z = 1 \\ 7x +8y + 9z = -3 \end{array} \end{equation*}

Resolva o sistema linear utilizando decomposição LU:

\begin{equation*} \begin{array}{l} x + 3y + 3 z = 2 \\ 2x + 2y + 6z = 1 \\ 2x +5y -z = -3 \end{array} \end{equation*}

Infelizmente nem toda a matriz pode ser decomposta em \(A = LU\text{.}\) Existe uma variante desse método, chamada de decomposição \(PA = LU\text{,}\) onde \(P\) é uma matriz de permutação. Nesse caso, para resolver \(A\vec{x} = \vec{b}\text{,}\) multiplicaríamos por P ambos os lados e teríamos \(LU = PA \vec{x} = P\vec{b}\text{.}\) Que pode ser resolvido pelo método acima.