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Section 5 Subespaços Vetoriais

Mostrar que um conjunto é um espaço vetorial é uma tarefa que pode ser longa e repetitiva, uma vez tenhamos compreendido bem o conceito. Essa tarefa fica muito mais fácil quando consideramos subconjuntos de um espaço vetorial, o que exploramos nessa subseção.

Subsection 5.1 Subespaço

Definition 5.1.

Sejam \((V, E, \oplus, \odot)\) um espaço vetorial e \(S \subset V\) um subconjunto de \(V\text{.}\) \(S\) é dito um subespaço (vetorial) de \(V\) se, e somente se:

  1. \(\displaystyle S \neq \emptyset,\)

  2. \(\displaystyle \alpha \odot \vec{u} \in S, \,\, \forall \,\, \vec{u} \in S, \,\, \alpha \in E,\)

  3. \(\displaystyle \vec{u} \oplus \vec{v} \in S, \,\, \forall \,\, \vec{u}, \vec{v} \in S.\)

A primeira condição diz que o subconjunto não é vazio, a segunda diz que a mutiplicação de um elemento de S por um escalar resulta em um elemento de S e a terceira diz que o resultado da soma de dois elementos de S é um elemento de S.

Como \(S \subset V\) e \(S\) tem o mesmo conjunto de escalares e operações, valem as propriedades \(A1 - /A8\) desde que \(\alpha \odot \vec{x}\) e \(\vec{x} \oplus \vec{y}\) sejam elementos de \(S\text{,}\) o que é requerido pela definição de subespaço vetorial.
O conjunto \(V = \{ \vec{u} \in \mathbb{R}^3 | \vec{u} = \alpha_1(-1,0,1)^T + \alpha_2 (0, 1, 1)^T, \, \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}\}\text{,}\) com escalares reais e as operações de adição e multiplicação por escalar herdadas de \(\mathbb{R}^3\) é um subespaço vetorial de \(\mathbb{R}^3\) pois, dados \(\alpha \in \mathbb{R}\) e \(\vec{u} =\alpha_1(-1,0,1)^T + \alpha_2 (0, 1, 1)^T \text{,}\) \(\vec{v} =\beta_1(-1,0,1)^T + \beta_2 (0, 1, 1)^T \in V\text{:}\)

  1. \(\displaystyle \vec{0} = 0 (-1,0,1)^T + 0 (0, 1, 1)^T \in V \Longrightarrow V \neq \emptyset,\)

  2. \(\displaystyle \alpha\vec{u} = \alpha \alpha_1(-1,0,1)^T + \alpha \alpha_2 (0, 1, 1)^T \in V,\)

  3. \(\displaystyle \vec{u} + \vec{v} = (\alpha_1+\beta_1)(-1,0,1)^T + (\alpha_2 +\beta_2) (0, 1, 1)^T \in V.\)

Assim \(V\) é um subespaço de \(\mathbb{R}^3\) e automaticamente um espaço vetorial (não precisávamos verificar todas as propriedades, como feito no exemplo anterior).

Verifique que \(S = \left\{ A \in \mathbb{R}^{2\times2} \left| A = \left(\begin{array}{cc} a_{11} \amp a_{12} \\ -a_{12} \amp a_{22} \end{array}\right) \right.\right\}\) é um subespaço de \(\mathbb{R}^{2\times2} \text{.}\)
Verifique que \(S = \left\{ f \in C^2(a,b) \left| f''(x) + f(x) =0 \,\, \forall \,\, x \in (a,b) \right.\right\}\) é um subespaço de \(C^2(a,b) \text{.}\)
Utilize o código abaixo para esboçar o subespaço de \(S = \{\vec{u} \in \mathbb{R}^3| \vec{u} = \alpha_1 (1,1,0)^T + \alpha_2 (-1,1,1)^T \}.\)

Subsection 5.2 Espaço Nulo de uma matriz

Definition 5.7.

Seja \(A \in \mathbb{R}^{n \times m}\text{.}\) O conjunto de todas as soluções de \(A\vec{x} =\vec{0}\) é chamado de espaço nulo de \(A\) e denotado \(N(A)\text{:}\)

\begin{equation*} N(A) = \{\vec{x} \in \mathbb{R}^m | A\vec{x} = \vec{0}\}. \end{equation*}
O espaço nulo da matriz
\begin{equation*} A = \left(\begin{array}{cccc} 1 \amp 1 \amp 1 \amp 0 \\ 2 \amp 1 \amp 0 \amp 1 \end{array} \right) \end{equation*}
consiste das soluções de \(A\vec{x} = \vec{0}\text{,}\) ou seja, soluções do sistema
\begin{gather*} \begin{array}{c} x_1 + x_2 + x_3 = 0\\ 2x_1 + x_2 + x_4 = 0\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{c} x_2 + 2x_3 -x_4 = 0\\ 2x_1 + x_2 + x_4 = 0\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{c} x_1 = x_3 - x_4 \\ x_2 = 2x_3 - x_4 \end{array}, \end{gather*}

denotando \(\alpha = x_3\) e \(\beta = x_4\text{,}\) temos:

\begin{align*} N(A) =\amp \{\vec{x} \in \mathbb{R}^4 | \vec{x} = (\alpha -\beta, -2\alpha + \beta, \alpha, \beta)^T \}\\ =\amp \{\vec{x} \in \mathbb{R}^4 | \alpha(1, -2, 1, 0)^T + \beta(-1, 1, 0, 1)^T, \,\, \alpha, \beta \in \mathbb{R}\} \end{align*}
Dados \(\vec{x}, \vec{y} \in N(A)\) e \(\alpha \in \mathbb{R}\text{:}\)

  1. \(\displaystyle A\vec{0} = \vec{0} \Longrightarrow \vec{0} \in N(A) \Longrightarrow N(A) \neq \emptyset,\)

  2. \(\displaystyle A(\alpha\vec{x}) = \alpha A \vec{x} = \vec{0} \Longrightarrow \alpha\vec{x} \in N(A),\)

  3. \(\displaystyle A(\vec{x} + \vec{y}) = A\vec{x} + A\vec{y} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0} \Longrightarrow \vec{x}+\vec{y} \in N(A).\)

Uma matriz \(A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) representa uma projeção em um plano que passa pela origem se \(A^2 = A\) (esse fato será justificado quando estudarmos transformações lineares). Note (calcule) que a matriz \(A\) tem essa propriedade:
\begin{equation*} A = \left(\begin{array}{ccc} 5/6 \amp 1/6 \amp 1/3\\ 1/6 \amp 5/6 \amp -1/3\\ 1/3 \amp -1/3 \amp 1/3 \end{array} \right). \end{equation*}
O núcleo de \(A\) dá a direção normal ao plano de projeção. Para encontrar \(N(A)\) precisamos resolver \(A\vec{x} = \vec{0},\) o que pode ser feito por eliminação Gaussiana:
\begin{align*} \left(\begin{array}{ccc|c} 5/6 \amp 1/6 \amp 1/3 \amp 0\\ 1/6 \amp 5/6 \amp -1/3 \amp 0\\ 1/3 \amp -1/3 \amp 1/3 \amp 0 \end{array} \right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 \amp 1/5 \amp 2/5 \amp 0\\ 1 \amp 5 \amp -2 \amp 0\\ 1 \amp -1 \amp 1 \amp 0 \end{array} \right)\\ \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 \amp 1/5 \amp 2/5 \amp 0\\ 0 \amp 24/5 \amp -12/5 \amp 0\\ 0 \amp -6/5 \amp -3/4 \amp 0 \end{array} \right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 \amp 1/5 \amp 2/5 \amp 0\\ 0 \amp 1 \amp -1/2 \amp 0\\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \end{array} \right). \end{align*}

de modo que \(x_2 = x_3/2\) e \(x_1 = -x_3/2\) e \(N(A) = \{\vec{x} \in \mathbb{R}^3 | \vec{x} = \alpha (1/2, -1/2, 1)^T\}\) e um vetor normal ao plano é \((1/2, -1/2, 1)^T\text{.}\)

O código plota um o plano que passa pela origem se dermos como imput o vetor normal a esse plano.

Verifique se a matriz
\begin{equation*} A = \left(\begin{array}{ccc} 0,5 \amp 0 \amp 0,5\\ 0\amp 1\amp 0 \\ 0,5\amp 0\amp 0,5 \end{array} \right). \end{equation*}
representa uma projeção, em caso positivo encontre o seu núcleo e utilize o código acima para plotar o plano de projeção.
Remark 5.12.
Note que \(N(A)\) não pode ser vazio, pois \(\vec{0} \in N(A)\) uma vez que \(A\vec{0} = \vec{0}\) para qualquer matriz.
Dados \(\vec{x}, \vec{y}\) soluções de \(A\vec{x} = \vec{b}\text{,}\) temos:
\begin{equation*} A(\vec{x} - \vec{y}) = A\vec{x} - A\vec{y} = \vec{b} - \vec{b} = \vec{0}. \end{equation*}
Se \(\vec{x}\) é solução de \(A\vec{x} = \vec{b}\) e \(\vec{n} \in N(A)\text{,}\) temos:
\begin{equation*} A(\vec{x} + \vec{n}) = A\vec{x} + A\vec{n} = \vec{b} + \vec{0} = \vec{b}. \end{equation*}

Considerando a matriz:

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp -1 \amp 1 \\2 \amp 2 \amp 1 \\ 3 \amp 1 \amp 2\end{pmatrix}, \end{equation*}

calcule o núcleo de \(A\) e as soluções de \(A\vec{x}=(0,4,4)^T\text{.}\) Você consegue explicar qual a relação entre o núcleo de \(A\) e as soluções encontradas?