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Section 8 Transformações Lineares

Muitos problemas de interesse nas ciências e na engenharia são aplicações lineares. Para aplicações lineares podemos utilizar os conhecimentos adquiridos nas seções anteriores sobre bases e matrizes para estudar e resolver problemas desse tipo de maneira conveniente.

Subsection 8.1 Transformações Lineares

Definition 8.1.

Um mapeamento 1  \(L : V \to W\text{,}\) de um espaço vetorial \((V,E,\cdot, +)\) para um espaço vetorial \((W,E,\odot,\oplus)\) é dita uma transformação linear  2  se

\begin{equation*} L(\alpha \cdot \vec{u} + \beta \vec{v}) = \alpha \odot L(\vec{u}) \oplus \beta \odot L(\vec{v}). \end{equation*}
uma função
também chamado de mapeamento linear, operador linear ou função linear (dependendo do contexto)
Seja \(L: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) a função definida por
\begin{equation*} L\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_2 \\ x_1 \end{pmatrix} \end{equation*}
é uma transformação linear, pois \(\ldots\)
Seja \(L: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) a função definida por
\begin{equation*} L\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1^2 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{equation*}
não é uma transformação linear, pois \(\ldots\)
O mapeamento \(L: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) definido por
\begin{equation*} L\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{equation*}
é uma transformação linear, pois \(\ldots\) Podemos notar que
\begin{equation*} L\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \end{pmatrix}. \end{equation*}
Essa transformação linear é a projeção do espaço \(\mathbb{R}^3\) em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)

O código abaixo faz um plot da projeção do exemplo acima.

O mapeamento \(L: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) definido por
\begin{equation*} L\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \\x_1 + x_2 \end{pmatrix} \end{equation*}
é uma transformação linear, pois \(\ldots\) Podemos notar que
\begin{equation*} L\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \amp 1 \\ 1 \amp 0 \\ 1 \amp 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}. \end{equation*}
Seja \(A\) é uma matriz \(n \times m\text{.}\) Mostre que a função
\begin{align*} L: \amp \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n,\\ \amp L(\vec{v}) = A\vec{v} \end{align*}
é uma transformação linear.
Seja \(R_\theta: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) a operação que os vetores do plano em \(\theta\) radianos no sentido anti horário. Para compreendermos seu efeito, colocamos os vetores do plano em sua forma polar:
\begin{equation*} \vec{v} = (r \mbox{cos}(\alpha), r \mbox{sen}(\alpha))^T \end{equation*}
e percebemos que rodar \(\theta\) no sentido anti-horário significa somar \(\theta\) ao ângulo, de modo que
\begin{equation*} R_\theta(\vec{v}) = \begin{pmatrix} r \mbox{cos}(\alpha+\theta)\\ r \mbox{sen}(\alpha+\theta)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r(\mbox{cos}(\alpha)^2 -\mbox{sen}(\theta)^2)\\ r (2\mbox{sen}(\alpha)\mbox{cos}(\theta))\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mbox{cos}(\theta) \amp -\mbox{sen}(\theta)\\ \mbox{sen}(\theta) \amp \mbox{cos}(\theta) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} r \mbox{cos}(\alpha)\\ r \mbox{sen}(\alpha)\end{pmatrix} \end{equation*}
Pelo exercício anterior, a rotação é uma transformação linear.

  1. \(\displaystyle L(\vec{0}_V) = L(0\vec{v}) = 0L(\vec{v}) = \vec{0}_W;\)

  2. \begin{align*} L(\alpha_1 \vec{v}_1 + \cdots + \alpha_n \vec{v}_n) =\amp L(\alpha_1 \vec{v}_1 + \cdots + \alpha_{n-1} \vec{v}_{n-1}) +\alpha_n L(\vec{v}_n) = \cdots \\ =\amp \alpha_1 L(\vec{v}_1) + \cdots + L(\alpha_n \vec{v}_n); \end{align*}

  3. \(\displaystyle L(\vec{v}) + L(-\vec{v}) = L(\vec{v})- L(\vec{v}) = \vec{0};\)

Seja \(V\) um espaço vetorial. O operador identidade \(I: V \to V\) definido por
\begin{equation*} I(\vec{v}) = \vec{v}, \,\,\, \forall \vec{v} \in V \end{equation*}
é uma transformação linear, pois \(\ldots\)
O mapeamento \(D:C^1(a,b) \to C(a,b)\text{,}\) que associa a cada função a sua derivada é um operador linear
\begin{equation*} D(f) = f' \end{equation*}
pois, para quaisquer \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) e \(f,g \in C^1(a,b)\text{,}\)
\begin{equation*} D(\alpha f + \beta g) = (\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'. \end{equation*}
Seja \(P^3\) o conjunto dos polinômios de grau 3. Ele é um espaço vetorial e \(\mathcal{U} = \{x^3, x^2, x, 1\}\) é uma base para esse espaço. O operador \(D:P^3 \to P^3\) definido por \(D(p) = 2 p'' - 3p' + p\) é um operador linear, pois ... Se \(p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\text{,}\) então suas coordenadas na base \(\mathcal{U}\) são \((a, b, c, d)^T\) e \(D(p) = a x^3 + (-9a+b)x^2 + (12a-6b+c)x + (4b-3c+d)\text{,}\) de modo que as suas coordenadas na base \(\mathcal{U}\) são iguais a
\begin{equation*} D(p) = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp 0 \amp 0 \\ -9 \amp 1 \amp 0 \amp 0 \\ 12 \amp -6 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 4 \amp -3 \amp 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{equation*}

Subsection 8.2 Representação Matricial de Transformações Lineares

\begin{align*} L(\vec{u}) =\amp u_1^{\mathcal{U}}L(\vec{u}_1) + u_2^{\mathcal{U}}L(\vec{u}_2) + \cdots + u_n^{\mathcal{U}} L(\vec{u}_n)\\ = \amp u_1^{\mathcal{U}}(L(\vec{u}_1)^\mathcal{V}_1 \vec{v}_1 + \cdots + L(\vec{u}_1)^\mathcal{V}_m \vec{v}_m) + \cdots + u_n^{\mathcal{U}} (L(\vec{u}_n)^\mathcal{V}_1 \vec{v}_1 + \cdots + L(\vec{u}_n)^\mathcal{V}_m \vec{v}_m) \\ = \amp (u_1^{\mathcal{U}}L(\vec{u}_1)^\mathcal{V}_1 + \cdots + u_n^{\mathcal{U}} (L(\vec{u}_n)^\mathcal{V}_1))\vec{v}_1 + \cdots + (u_1^{\mathcal{U}}L(\vec{u}_1)^\mathcal{V}_m + \cdots + u_n^{\mathcal{U}}L(\vec{u}_n)^\mathcal{V}_m)\vec{v}_m \\ = \amp (L(\vec{u}_1)^\mathcal{V}_1, \ldots, (L(\vec{u}_n)^\mathcal{V}_1)) \begin{pmatrix} u_1^{\mathcal{U}} \\ \vdots \\ u_n^{\mathcal{U}}\end{pmatrix} \vec{v}_1 + \cdots + (L(\vec{u}_1)^\mathcal{V}_m, \ldots, (L(\vec{u}_n)^\mathcal{V}_m)) \begin{pmatrix} u_1^{\mathcal{U}} \\ \vdots \\ u_n^{\mathcal{U}}\end{pmatrix} \vec{v}_m \end{align*}
de modo que as coordenadas de \(L(\vec{u})\) na base \(\mathcal{V}\) são
\begin{equation*} L(\vec{u})^{\mathcal{V}} = \begin{pmatrix} L(\vec{u}_1)^\mathcal{V}_1 \amp \cdots \amp L(\vec{u}_n)^\mathcal{V}_1\\ \vdots \amp \ddots \amp \vdots \\ L(\vec{u}_1)^\mathcal{V}_m \amp \cdots \amp L(\vec{u}_n)^\mathcal{V}_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1^{\mathcal{U}} \\ \vdots \\ u_n^{\mathcal{U}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | \amp \cdots \amp | \\ L(\vec{u}_1)^\mathcal{V} \amp \cdots \amp L(\vec{u}_n)^\mathcal{V}\\ | \amp \cdots \amp | \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1^{\mathcal{U}} \\ \vdots \\ u_n^{\mathcal{U}}\end{pmatrix}. \end{equation*}

Dizemos que \(A\) representa \(L\) nas bases \(\mathcal{U}\) e \(\mathcal{V}\text{.}\)

Seja \(L: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4\text{,}\) a transformação linear definida por
\begin{equation*} L \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - x_3 \\ -x_2\\ -x_1 - x_2 + x_3 \\ x_2 - x_3 \end{pmatrix}. \end{equation*}
A matriz que representa \(L\) nas bases canônicas de \(\mathbb{R}^3\) e \(\mathbb{R}^4\) é
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp -1 \\ 0 \amp -1 \amp 0 \\ -1 \amp -1 \amp 1 \\ 0 \amp 1 \amp -1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
de modo que \(L(\vec{x}) = A\vec{x}\text{.}\)
A matriz que representa a transformação linear do exemplo anterior nas bases \(\mathcal{U} = \{(1,0,1)^T, (0,-1,1)^T, (-1,1,1)^T\}\) e na base canônica \(\mathbb{R}^4\) é
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 0 \amp -1 \amp -2 \\ 0 \amp 1 \amp -1 \\ 0 \amp 2 \amp 1 \\ -1 \amp -2 \amp 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}
de modo que \(L(\vec{x}) = A\vec{x}^\mathcal{U}\text{.}\)
A matriz que representa a transformação linear do exemplo anterior nas bases \(\mathcal{U} = \{(1,0,1)^T, (0,-1,1)^T, (-1,1,1)^T\}\) e \(\mathcal{V} = \{(1,0,0,-1)^T, (0,1,1,0)^T, (1,0,0,1)^T, (0,-1,1,0)^T\}\) tem colunas \(V^{-1} (0,0,0,-1)^T\text{,}\) \(V^{-1} (-1,1,2,-2)^T\) e \(V^{-1} (0,-1,1,0)^T\text{,}\) nessa ordem.
Seja \(P: \mathcal{R}^3 \to \mathcal{R}^3\) a projeção no plano que passa pela origem e têm vetores diretores \(\vec{u}_2 = (0,1,1)^T, \vec{u}_3 = (2,-1,1)^T\text{.}\) Para representá-la na base \(\mathcal{U} = \{\vec{u}_1 = (1,1,-1)^T, \vec{u}_2 = (0,1,1)^T, \vec{u}_3 = (2,-1,1)^T\}\) notamos que \(\vec{u}_2 \perp \vec{u}_3 \) e
\begin{align*} \mbox{proj}_{\vec{u}_2 \vec{u}_3} \vec{u}_1 =\amp \mbox{proj}_{\vec{u}_2} \vec{u}_1 + \mbox{proj}_{\vec{u}_3} \vec{u}_1 = \vec{0}\\ \mbox{proj}_{\vec{u}_2 \vec{u}_3} \vec{u}_2 =\amp \mbox{proj}_{\vec{u}_2} \vec{u}_2 + \mbox{proj}_{\vec{u}_3} \vec{u}_2 = \vec{u}_2\\ \mbox{proj}_{\vec{u}_2 \vec{u}_3} \vec{u}_3 =\amp \mbox{proj}_{\vec{u}_2} \vec{u}_3 + \mbox{proj}_{\vec{u}_3} \vec{u}_3 = \vec{u}_3 \end{align*}
de modo que, nessa base, a \(P\) é representada pela matriz
\begin{equation*} A^{\mathcal{U}} = \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{pmatrix}. \end{equation*}

Como representar a matriz do exemplo anterior na base canônica?

A completar.

Esse teorema é frequentemente utilizado com \(\mathcal{V}\) sendo a base canônica, e \(S=U\) sendo a matriz de mudança de base da base \(\mathcal{U}\) para a base canônica.

Para calcularmos a matriz que representa a projeção do Example 8.16 na base canônica, precisamos da matriz de mudança de base e sua inversa
\begin{equation*} U = \begin{pmatrix} 1\amp 0 \amp 2 \\ 1\amp 1 \amp -1 \\ -1\amp 1 \amp 1 \end{pmatrix} \,\,\,\,\,\, U^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3\amp 1/3 \amp -1/3\\ 0 \amp 1/2 \amp 1/2\\ 1/3\amp -1/6 \amp 1/6 \end{pmatrix} \end{equation*}
de modo que
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1\amp 0 \amp 1 \\ 1\amp 1 \amp -1 \\ -1\amp 1 \amp 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \amp 0 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \amp 0 \\ 0 \amp 0 \amp 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/3\amp 1/3 \amp -1/3\\ 0 \amp 1/2 \amp 1/2\\ 1/3\amp -1/6 \amp 1/6 \end{pmatrix} = \cdots \end{equation*}
Determine a matriz da rotação de \(\theta\) radianos em torno do eixo \((1,1,-1)^T\text{,}\) no sentido anti-horário, na base \(\mathcal{U} = \{\vec{u}_1 = (1,1,-1)^T, \vec{u}_2 = (0,1,1)^T, \vec{u}_3 = (2,-1,1)^T\}\text{.}\)
Determine a matriz da rotação de \(\theta\) radianos em torno do eixo \((1,1,-1)^T\text{,}\) no sentido anti-horário, na base canônica.

Temos a situação que se duas matrizes \(A\) e \(B\) representam a mesma transformação linear, em bases \(\mathcal{U}\) e \(\mathcal{V}\text{,}\) respectivamente, e \(S\) é a matriz de mudança de base da base \(\mathcal{U}\) para a base \(\mathcal{V}\text{,}\) então \(B = S A S^{-1}\text{.}\) Isso nos motiva a introduzir a seguinte definição:

Definition 8.21.

Duas matrizes \(n \times n\text{,}\) \(A\) e \(B\text{,}\) são ditas similares se existe uma matriz \(n \times n\) inversível \(S\) tal que

\begin{equation*} B = S A S^{-1}. \end{equation*}

Subsection 8.3 Problemas envolvendo transformações Lineares

Utilize o código abaixo para testar as respostas de seus exercícios

Encontre uma matriz que representa uma rotação de ângulo \(\theta\) no sentido anti-horário em torno do eixo y.
Encontre uma matriz que representa uma rotação de ângulo \(\theta\) no sentido anti-horário em torno do eixo \((1/\sqrt{6}, -1/\sqrt{6}, 2/\sqrt{6})^T\text{.}\)
Encontre uma matriz que dilata a direção x por 2, a direção y por 0.5 e a direção z por 3.
Encontre uma matriz que dilata a direção \((1/\sqrt{6}, -1/\sqrt{6}, 2/\sqrt{6})^T\) por 2, a direção \((1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0)^T\) por 0.5 e a direção \((-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})^T\) por 3.

Translações não são transformações lineares, contudo podemos representá-las como matrizes utilizando uma dimensão adicional. Dado um ponto no plano \(x = (x1,x2)^T\text{,}\) podemos transladá-lo por \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) através das duas primeiras coordenadas do vetor:

\begin{equation*} T_{a,b}(x) = \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \amp a \\ 0 \amp 1 \amp b\\ 0 \amp 0 \amp 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Verifique isso com o código a seguir: