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Section 9 Autovalores e autovetores

Temos visto que, muitas vezes, é mais fácil compreender uma transformação linear em uma base adaptada para o problema em questão. Todavia encontrar uma base natural para o problema nem sempre é fácil. Nesse capítulo vamos nos ocupar com o problema no outro sentido: se temos uma transformação linear (representada por uma matriz na base canônica, por exemplo), quais são as direções mais naturais a se escolher para uma base?

Responderemos a essa pergunta passa por entender quais direções a transformação linear é mais simples, tendo o efeito de apenas multiplicar vetores naquela direção por uma constante. A constante pela qual o vetor é multiplicado é chamada de autovalor e a direção é chamada de autovetor. Veremos que as rotações também serão incluídas nesse caso naturalmente, com autovalores complexos.

Subsection 9.1 Autovalores e autovetores

Definition 9.1.

Seja \(A\) uma matriz \(n \times n\text{.}\) Um número (real ou complexo) \(\lambda\) é dito um autovalor de \(A\) se existe um vetor não nulo \(\vec{x}\) tal que \(A\vec{x} = \lambda \vec{x}\text{.}\) \(\vec{x}\) é dito um autovetor associado ao autovalor \(\lambda\text{.}\)

A matriz,
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 2 \amp 4 \\ 1 \amp 2 \end{pmatrix}, \end{equation*}
admite \(4\) como autovalor porque o vetor \(\vec{x} = (2, 1)^T\) satisfaz \(A\vec{x} = (8, 4)^T = 4(2,1)^T = 4\vec{x}\text{.}\) Outro autovalor dessa matrix é 0 pois o vetor \(\vec{x} = (2, -1)^T\) satisfaz \(A\vec{x} = (0, 0)^T = 0(2,-1)^T = 0\vec{x}\text{.}\)

Nesse exemplo os autovalores e autovetores foram dados, mas como fazemos para encontrar os autovalores de uma matriz qualquer? A observação a seguir nos dá um método para isso.

Remark 9.3.
Se existe um vetor não nulo \(\vec{x}\) tal que \(A\vec{x} = \lambda \vec{x}\text{,}\) temos que \(A\vec{x} - \lambda \vec{x} = \vec{0}\) e, portanto, \((A - \lambda I) \vec{x} = \vec{0}\text{,}\) ou seja, essa equação tem solução não nula e a matriz \((A - \lambda I)\) não é inversível. Desse modo, encontrar autovalores é descobrir para que escalares temos \(Det(A - \lambda I) = 0\text{.}\) O polinômio \(p(\lambda) = Det(A - \lambda I)\) é chamado de polinômio característico e os autovalores são as raízes desse polinômio. Uma vez encontrados os autovalores, resolvemos o sistema \((A - \lambda I) \vec{x} = \vec{0}\) para cada autovalor encontrado para determinar os autovetores associados a cada autovalor.
A matriz,
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 3 \\ 1 \amp -1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
tem polinômio característico
\begin{equation*} p(\lambda) = Det \left(\begin{pmatrix} 1 \amp 3 \\ 1 \amp -1 \end{pmatrix} -\lambda \begin{pmatrix} 1 \amp 0 \\ 0 \amp 1 \end{pmatrix}\right) = Det \begin{pmatrix} 1-\lambda \amp 3 \\ 1 \amp -1-\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 -4, \end{equation*}
que têm raízes 2 e -2. Os autovetores associados ao autovalor 2 são encontrados resolvendo
\begin{equation*} \begin{pmatrix} -1 \amp 3 \\ 1 \amp -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
Os autovetores associados ao autovalor -2 são encontrados resolvendo
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 3 \amp 3 \\ 1 \amp 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1/3 \amp -4/3 \amp -1/3 \\ -4/3 \amp 1/3 \amp 1/3 \\ -1/3 \amp 1/3 \amp 4/3 \end{pmatrix} \end{equation*}

Confira a sua resposta com o código abaixo.

Remark 9.6.
Podemos pensar na matriz \(A\) como uma transformação linear da base canônica para a base canônica. Se representarmos essa transformação linear na base de autovetores (supondo que exista uma), temos que ela será representada por uma matriz diagonal, com os autovalores na diagonal. Desse modo temos que:
\begin{equation*} A = P D P^{-1} \end{equation*}
Encontrar matrizes \(P\) (de autovetores) e \(D\) (com autovalores na diagonal) é conhecido como a diagonalização da matriz A.

Infelizmente nem sempre é possível encontrar uma base de autovetores para uma matriz.

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1/3 \amp -4/3 \amp -1/3 \\ -4/3 \amp 1/3 \amp 1/3 \\ -1/3 \amp 1/3 \amp 4/3 \end{pmatrix} \end{equation*}

O código abaixo pode ser utilizado para verificar se o produto das matrizes encontradas retorna a matriz original.

Esse processo é particularmente útil quando precisamos aplicar uma transformação linear multiplas vezes, pois

\begin{equation*} A^2 = (P D P^{-1})(P D P^{-1}) = P D^2 P^{-1} \,\,\,\, A^n = (P D P^{-1})\cdots(P D P^{-1}) = P D^n P^{-1} \end{equation*}

e, para uma matriz diagonal,

\begin{equation*} D = \begin{pmatrix} \lambda_1 \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \\ 0 \amp \lambda_2 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \\ \vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \cdots \amp \vdots \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp \lambda_n \end{pmatrix}, \,\,\,\,\, D^m = \begin{pmatrix} \lambda_1^m \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \\ 0 \amp \lambda_2^m \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \\ \vdots \amp \vdots \amp \ddots \amp \cdots \amp \vdots \\ 0 \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp \lambda_n^m \end{pmatrix} \end{equation*}
Suponha que uma cidade tem 100000 homens separados em dois grupos: não comprometidos e comprometidos; e que, a cada ano, \(30\%\) dos não comprometidos passam a ser comprometidos e \(20\%\) dos comprometidos passam a ser não comprometidos. Se no primeiro ano, temos 50000 comprometidos e 50000 não comprometidos, quais os números de comprometidos e não comprometidos após 1, 10 e 50 anos?

Subsection 9.2 Resultados e dificuldades relacionados a autovetores e autovalores.

Nessa seção discutimos quando é possível diagonalizar uma matriz e quais as opções quando isso não é possível.

A completar.

O Theorem 9.9 garante que se o polinômio característico tem \(n\) raízes distintas, teremos \(n\) autovetores LI. Todavia esses autovalores e autovetores ainda podem ser complexos, o que pode não permite diagonalizar a matriz, se buscamos uma matriz real.

A completar.

Isso significa que uma matriz simétrica sempre é diagonalizável (A matriz \(P\) é a matriz de mudança de base da base de autovetores para a base canônica). Se uma matriz não é simétrica essa pode não ser a situação.

Remark 9.11.
Para analisar o que ocorre no caso de autovalores múltiplos, precisamos de números complexos e recorro a um resultado de variável complexa, que diz que um polinômio real ou complexo de grau \(n\) sempre pode ser decomposto no produto de monômios de grau \(n\text{.}\) Em particular
\begin{equation*} p(\lambda) = \pm (\lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0) = \pm(\lambda-\lambda_n)(\lambda-\lambda_{n-1})\cdots(\lambda-\lambda_1), \end{equation*}
onde \(\lambda\) é a variável complexa, \(\lambda_i\text{,}\) \(i = 1, 2, \ldots, n\) são as raízes (possivelmente complexas) e \(a_i\) os coeficientes, \(i = 1, 2, \ldots, n\text{.}\)
Definition 9.12.

Seja \(p(\lambda)\) o polinômio característico de uma matriz real \(A\text{,}\) \(n \times n \text{.}\) O número de vezes que um autovalor aparece na decomposição no produto de monômios de \(p(\lambda)\) é chamada de multiplicidade algébrica desse autovalor. A dimensão do espaço nulo de \(A - \lambda_k I\text{,}\) \(N(A - \lambda_k I)\) é a multiplicidade geométrica do autovalor \(\lambda_k\text{.}\)

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 \amp 3 \\ 0 \amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 2 \amp 3 \amp 0\\ 0 \amp 2 \amp -4 \\ 0 \amp 0 \amp 1 \end{pmatrix} \end{equation*}

Uma matriz real é diagonalizável exatamente quando tem autovalores reais e a multiplicidade geométrica é igual a multiplicidade algébrica para cada autovalor.

Diagonalize a matriz
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 0 \amp 2 \amp -1\\ 2 \amp 3 \amp -2 \\ -1 \amp -2 \amp 0 \end{pmatrix} \end{equation*}

Se uma matriz \(A\) tem autovalores complexos, então não é possível colocá-la na forma diagonal usual utilizando matrizes reais. Todavia os autovalores complexos sempre vem em pares conjugados \(\lambda_k, \overline{\lambda}_k\text{,}\) com autovetores complexos \(\vec{x}_k, \overline{\vec{x}}_k\text{.}\) Vejamos em detalhe o que ocorre com as partes reais e complexas do autovetor \(\vec{x}_k = \mbox{Re}(\vec{x}_k) + i \mbox{Im}(\vec{x}_k)\) associado ao autovalor \(\lambda_k = r \mbox{cos} (\theta) + i r \mbox{sen} (\theta)\) (escrito na forma polar)

.
\begin{align*} A \vec{x}_k =\amp \lambda_k \vec{x}_k = (r \mbox{cos} (\theta) + i r \mbox{sen} (\theta))( \mbox{Re}(\vec{x}_k) + i \mbox{Im}(\vec{x}_k))\\ =\amp (r \mbox{cos} (\theta) \mbox{Re}(\vec{x}_k) - r \mbox{sen} (\theta)\mbox{Im}(\vec{x}_k)) + i( r \mbox{sen} (\theta)\mbox{Re}(\vec{x}_k) + r \mbox{cos} (\theta)\mbox{Im}(\vec{x}_k)),\\ A \bar{\vec{x}_k} =\amp \bar{\lambda_k}\bar{ \vec{x}_k} = (r \mbox{cos} (\theta) - i r \mbox{sen} (\theta))( \mbox{Re}(\vec{x}_k) - i \mbox{Im}(\vec{x}_k))\\ =\amp (r \mbox{cos} (\theta) \mbox{Re}(\vec{x}_k) - r \mbox{sen} (\theta)\mbox{Im}(\vec{x}_k)) - i( r \mbox{sen} (\theta)\mbox{Re}(\vec{x}_k) + r \mbox{cos} (\theta)\mbox{Im}(\vec{x}_k)). \end{align*}

Assim, lembrando que \(2 \mbox{Re}(\vec{x}_k) = \vec{x}_k + \bar{\vec{x}_k}\) e \(2 \mbox{Im}(\vec{x}_k) = -i\vec{x}_k + i \bar{\vec{x}_k}\text{,}\) temos

\begin{equation*} A \mbox{Re}(\vec{x}_k) = r \mbox{cos} (\theta) \mbox{Re}(\vec{x}_k) - r \mbox{sen} (\theta)\mbox{Im}(\vec{x}_k) \end{equation*}
\begin{equation*} A \mbox{Im}(\vec{x}_k) = r \mbox{sen} (\theta)\mbox{Re}(\vec{x}_k) + r \mbox{cos} (\theta)\mbox{Im}(\vec{x}_k) \end{equation*}

Desse modo, se \(\vec{u} = a \mbox{Re}(\vec{x}_k) + b \mbox{Im}(\vec{x}_k)\text{,}\) com \(a,b\) reais, temos:

\begin{align*} A \vec{u} = \amp a(r \mbox{cos} (\theta) \mbox{Re}(\vec{x}_k) - r \mbox{sen} (\theta)\mbox{Im}(\vec{x}_k)) + b(r \mbox{sen} (\theta)\mbox{Re}(\vec{x}_k) + r \mbox{cos} (\theta)\mbox{Im}(\vec{x}_k))\\ =\amp (r \mbox{cos} (\theta), r \mbox{sen} (\theta))\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \mbox{Re}(\vec{x}_k) + (-r \mbox{sen} (\theta), r \mbox{cos} (\theta))\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \mbox{Im}(\vec{x}_k), \end{align*}

e é possível escrever um bloco \(2 \times 2\) na diagonal da forma:

\begin{equation*} \begin{pmatrix} r\mbox{cos}(\theta) \amp r\mbox{sen}(\theta) \\ -r\mbox{sen}(\theta) \amp r\mbox{cos}(\theta) \end{pmatrix}, \end{equation*}

de modo que autovalores complexos indicam a rotações no plano definido por \(\mbox{Re}(\vec{x}_k)\) e \(\mbox{Im}(\vec{x}_k)\text{.}\) Deixamos ao leitor a verificação do fato que \(\mbox{Re}(\vec{x}_k)\) e \(\mbox{Im}(\vec{x}_k)\) são linearmente independentes.

\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 4/5 \amp -3/5 \amp 0 \\ 3/5 \amp 4/5 \amp 0 \\ 1 \amp 2 \amp 2 \end{pmatrix} \end{equation*}

Para mais informações sobre esse processo, ver Forma de Jordan 2 .

wikipedia.org

Subsection 9.3 Aplicações: sistemas de EDOs lineares de primeira ordem.

As leis que descrevem muitos processos na natureza são dadas por equações diferenciais. Por exemplo, vamos considerar a radioatividade. Suponha que uma amostra de material contém \(y_0\) átomos radioativos. É natural pensar que o número de átomos, \(y(t)\text{,}\) que decai a cada segundo é proporcional ao número de átomos que ainda não decairam. Em linguagem matemática, isso significa que:

\begin{equation*} \frac{dy}{dt}(t) = \lambda y(t), \,\,\,\, y(0) = y_0. \end{equation*}

Um problema assim é chamado de uma equação diferencial ordinária e sua solução é \(y(t) = y_0 e^{\lambda t}\text{.}\)

Em outros problemas pode-se ter múltiplas funções simultaneamente.

Uma amostra formada por dois isótopos radioativos com quantidades iniciais \(y_1 = 3\times 10^{5}\) e \(y_2 = 2\times 10^{4}\) e a fração dos átomos que decai a cada segundo é 0.1% e 0.2%. Então o número de átomos radioativos na amostra de cada um dos tipos é ...
Alguns isótopos decaem em outros isótopos que também são radioativos. Suponha que um isótopo \(A\) decai no isótopo \(B\text{,}\) que decai no isótopo \(C\text{.}\) Uma amostra formada pelos isótopos \(A\text{,}\) \(B\) e \(C\) com quantidades iniciais \(y_1 = 3\times 10^{5}\) e \(y_2 = 2\times 10^{4}\) e \(y_3 = 4\times 10^{4}\) e a fração dos átomos que decai a cada segundo do isótopo A para o isótopo B é 0.1%, do isótopo B para o isótopo C é 0.2% e do isótopo B para material não radioativo é de 0.3%. Então o número de átomos radioativos na amostra de cada um dos tipos é ...

Consideremos o sistema de equações diferenciais (com condições iniciais associadas):

\begin{align*} y_1' =\amp a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + \cdots + a_{1n} y_n, \,\,\, y_1(0) = y^*_1,\\ y_2' =\amp a_{21}y_1 + a_{22}y_2 + \cdots + a_{2n} y_n, \,\,\, y_2(0) = y^*_2,\\ \vdots \amp\\ y_n' =\amp a_{n1}y_1 + a_{n2}y_2 + \cdots + a_{nn} y_n, \,\,\, y_n(0) = y^*_n, \end{align*}

que pose ser escrito na forma

\begin{equation*} \vec{y}'(t) = A\vec{y}(t), \,\,\, \vec{y}(0) = \vec{y^*}. \end{equation*}

Se a matriz A tem \(n\) autovalores reais, \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\text{,}\)(não necessariamente distintos) e a eles estão associados \(\text{}\) autovetores LI, \(\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n\text{,}\) então a solução do sistema de EDOs é

\begin{equation*} \vec{y}'(t) = c_1e^{\lambda_1 t}\vec{x}_1 + c_2e^{\lambda_2 t}\vec{x}_2 + \cdots + c_ne^{\lambda_n t}\vec{x}_n, \,\, \mbox{ onde } \,\, \vec{y^*} = c_1\vec{x}_1 + c_2\vec{x}_2 + \cdots + c_ne^\vec{x}_n. \end{equation*}
Resolva o sistema
\begin{align*} y_1' =\amp 3y_1 + 2y_2 - 3y_3, \,\,\, y_1(0) = 1,\\ y_2' =\amp 2y_1 + 3y_2 - 3y_3, \,\,\, y_2(0) = 2,\\ y_3' =\amp 3y_1 + 3y_2 - 4y_3, \,\,\, y_n(0) = -1, \end{align*}

Se os autovalores são complexos, eles sempre vêm em pares conjugados \(\lambda, \bar{\lambda}\text{,}\) com autovetores \(\vec{x}\) e \(\bar{\vec{x}}\text{.}\) Nesse caso, substituímos os autovetores associados a \(\lambda, \bar{\lambda}\) por \(Re(\lambda \vec{x})\) e \(Im(\lambda \vec{x})\) usando a fórmula de Euler \(e^{(a+ib)t} = e^a \mbox{cos}(bt) + i e^a \mbox{sen}(bt)\text{.}\)

Resolva o sistema
\begin{align*} y_1' =\amp y_1 - 2y_2, \,\,\, y_1(0) = 1,\\ y_2' =\amp -2y_1 + y_2, \,\,\, y_2(0) = -1. \end{align*}

Subsection 9.4 Aplicações: sistemas de EDOs lineares de segunda ordem.

As leis que descrevem muitos processos na natureza são dadas por equações diferenciais. Muitas vezes essas leis envolvem derivadas de segunda ordem. Por exemplo a segunda lei de Newton, \(F = m a\text{,}\) ao lembrarmos que a aceleração é a taxa de variação da velocidade e a velocidade é a taxa de variação da posição: \(F = ma = mv' = mx''\text{.}\) Vejamos como resolver uma EDO linear de segunda ordem num exemplo.

Consideremos o PVI
\begin{equation*} 3y'' + 2y' - y = 0, \,\,\, y(0) = 1, \,\,\, y'(0) = 2. \end{equation*}
Podemos definir variáveis \(y_1 (t) = y(t)\text{,}\) \(y_2 (t) = y'(t)\text{,}\) de modo que obtemos o sistema
\begin{equation*} \begin{array}{l} y_1'(t) = y_2(t), \,\,\, y_1(0) =1,\\ y_2'(t) = -\frac{2}{3} y_2(t)+\frac{1}{3} y_1(t) , \,\,\, y_2(0) =2, \end{array} \,\,\, \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0 \amp 1 \\ 1/3 \amp -2/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{equation*}
Autovalores, autovetores, ...
Consideremos o PVI
\begin{equation*} y'' + 2y' + 2y = 0, \,\,\, y(0) = 1, \,\,\, y'(0) = 2. \end{equation*}
Podemos definir variáveis \(y_1 (t) = y(t)\text{,}\) \(y_2 (t) = y'(t)\text{,}\) de modo que obtemos o sistema
\begin{equation*} \begin{array}{l} y_1'(t) = y_2(t), \,\,\, y_1(0) =1,\\ y_2'(t) = -2 y_2(t) - 2y_1(t) , \,\,\, y_2(0) =2, \end{array} \,\,\, \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0 \amp 1 \\ -2 \amp -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{equation*}
Autovalores, autovetores, ...

Podemos ter um sistema de equações lineares de segunda ordem.

Consideremos o PVI
\begin{align*} \amp y_1'' = 2y_1 + y_2 + y_1' + y_2', \,\,\, y_1(0) = 1, \,\,\, y_2(0) = 0.\\ \amp y_2'' = -5y_1 +2y_2 +5 y_1' -y_2', \,\,\, y_1'(0) = 4, \,\,\, y_2'(0) = -2, \end{align*}
que pode ser escrito como
\begin{equation*} \vec{y}'' = \begin{pmatrix} 1\amp 1\\ 5\amp -1\end{pmatrix} \vec{y}' + \begin{pmatrix} 2 \amp 1 \\ -5 \amp 2 \end{pmatrix} \vec{y} \end{equation*}
Podemos definir variáveis \(y_3 (t) = y_1'(t)\text{,}\) \(y_4 (t) = y_2'(t)\text{,}\) de modo que obtemos o sistema
\begin{equation*} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}' = \left(\begin{array}{cc|cc} 0 \amp 0 \amp 1 \amp 0\\ 0\amp 0\amp 0 \amp 1\\ \hline 2\amp 1\amp 1 \amp 1 \\ -5\amp 2\amp 5\amp -1\\ \end{array} \right) \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}, \,\,\,\, \begin{pmatrix} y_1(0) \\ y_2(0) \\ y_3(0) \\ y_4(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{equation*}
Autovalores, autovetores, ...

Consideremos o sistema de equações diferenciais (com condições iniciais associadas), escrito na forma matricial, denotando \(\vec{y} = (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T\text{,}\) como:

\begin{equation*} \vec{y}'' = A_1 \vec{y} + A_2 \vec{y}', \,\,\,\, \vec{y}(0) = \vec{y}^*_0, \,\, \vec{y}'(0) = \vec{y}^{**}_0. \end{equation*}

Podemos definir as variáveis \(y_{n+1} = y_1', y_{n+2} =y_2', \ldots, y_{2n} = y_n'\) e, denotando, \(\vec{y}_1 = \vec{y} = (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T\) e \(\vec{y}_2 = (y_{n+1}, y_{n+2}, \ldots, y_{2n})^T\text{,}\) temos o problema linear

\begin{equation*} \begin{pmatrix} \vec{y}_1 \\ \vec{y}_2\end{pmatrix}' = \left(\begin{array}{c|c} 0 \amp I \\ \hline A_1 \amp A_2\end{array}\right) \begin{pmatrix} \vec{y}_1 \\ \vec{y}_2\end{pmatrix}, \,\,\, \begin{pmatrix} \vec{y}_1(0) \\ \vec{y}_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{y}^{*}_0 \\ \vec{y}^{**}_0\end{pmatrix} \end{equation*}

Que pode ser resolvido pelo método de autovalores e autovetores.

Resolva o sistema de EDOs, com as condições dadas.

\begin{align*} \amp y_1'' = y_2 + y_1' + y_2', \,\,\, y_1(0) = 1, \,\,\, y_2(0) = 0.\\ \amp y_2'' = y_1 +2 y_2 + y_1' +y_2', \,\,\, y_1'(0) = 4, \,\,\, y_2'(0) = -2, \end{align*}