Skip to main content

Section 4 Espaços Vetoriais

O conceito de Espaço Vetorial trata de espaços que têm uma operação de multiplicação por escalar e uma operação de adição de vetores, assim como \(\mathbb{R}^3\) com as operações usuais, e identifica as principais propriedades operacionais esperadas para seu uso, permitindo a aplicação em espaços muito diferentes de \(\mathbb{R}^n\) e nos mais diversos contextos. Essa seção inicia relembrando o que são vetores em \(\mathbb{R}^n\) e segue apresentando o conceito de espaço vetorial e alguns dos exemplos não triviais importantes. Em seguida introduz-se o conceito de subespaço vetorial e como aplicá-lo, junto com uma aplicação para a ilustração de subespaços de dimensão 1 ou 2 em \(\mathbb{R}^3\text{.}\)

Subsection 4.1 Vetores em \(\mathbb{R}^n\)

Um vetor \(\vec{x}\) representa o conjunto de todos os segmentos orientados em \(\mathbb{R}^3\) com o mesmo comprimento, direção e sentido.

Usualmente representamos um vetor pelas coordenadas do ponto final do segmento orientado que inicia na origem. Assim, no plot, temos o vetor \(\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right)\) e outros segmentos orientados gerados aleatoriamente, todos pertencentes ao mesmo vetor.

O comprimento ou a norma de um vetor \(\vec{x} = \left(x_1, \ldots, x_n\right)^T\) em \(\mathbb{R}^n\) pode ser calculado por

\begin{equation*} \|\vec{x}\| = \sqrt{x_1^2 + x^2+ \cdots + x_n^2}\text{.} \end{equation*}

No exemplo acima

\begin{equation*} \|\vec{x}\| = \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\text{.} \end{equation*}

Qualquer segmento orientado em \(\vec{x}\) poderia ter sido utilizado para calcular o comprimento.

Escolha um vetor \(\vec{x}\neq (2, 1)^T\text{,}\) e calcule o comprimento de três representantes desse vetor, fazendo as contas manualmente. Utilize o código acima para plotar alguns representantes desse vetor.

Para vetores \(\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n\text{,}\) \(\vec{x} = (x_1, \ldots, x_n)^T\) e \(\vec{y} = (y_1, \ldots, y_n)^T\text{,}\)e um escalar \(\alpha \in \mathbb{R}\text{,}\) definimos as operações fundamentais de multiplicação por escalar e adição de vetores por:

\begin{equation*} \alpha \cdot \vec{x} = \alpha\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} := \begin{pmatrix}\alpha x_1\\ \vdots \\ \alpha x_n\end{pmatrix}; \,\,\,\,\, \vec{x} + \vec{y} = \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}y_1\\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix} := \begin{pmatrix}x_1+y_1\\ \vdots \\ x_n+y_n\end{pmatrix} \end{equation*}

A subtração de vetores é definida a partir da multiplicação por escalar e da adição como \(\vec{x} - \vec{y} := \vec{x} +(-1) \vec{y}\text{.}\)

Escolha dois vetores \(\vec{u}, \vec{v}\text{,}\) diferentes de \((1,2)^T\) e \((-2,1)^T\text{,}\) e um escalar \(\alpha \neq 2\text{.}\) Utilize o código acima para plotar \(-\vec{v}\text{,}\) \(\vec{u} + \vec{v}\text{,}\) \(\vec{u} - \vec{v}\) e \(\alpha \vec{u}\text{.}\) Escreva as coordenadas dos representantes com início na origem e as coordenadas dos pontos iniciais e finais de cada vetor no plot.

Subsection 4.2 Espaços Vetoriais

Definimos agora um espaço vetorial, construindo conjuntos de "vetores" para os quais existem operações de "adição" e "multiplicação" por "escalar" com as mesmas propriedades das operações em vetores do \(\mathbb{R}^n\text{,}\) de modo operarmos com eles de modo semelhante ao \(\mathbb{R}^n\text{,}\) todavia podemos ter objetos muito distintos dos usuais para cada um dos termos entre parênteses.

Definition 4.3.

Seja \(E\) um conjunto de escalares (usualmente \(\mathbb{C}\) ou \(\mathbb{C}\text{,}\) mas qualquer corpo serviria). Um espaço vetorial \((V,E,\oplus,\odot)\) é formado por um conjunto de vetores, \(V\text{,}\) um corpo de escalares, \(E\text{,}\) e duas operações:

\begin{align*} \oplus : \amp V \times V: \to V, \\ (C1) \hspace{9mm} \amp \vec{u}, \vec{v} \in V \Rightarrow \vec{u} \oplus \vec{v}\\ \odot\, : \amp E \times V: \to V, \\ (C2) \hspace{9mm} \amp \alpha \in E, \vec{v} \in V \Rightarrow \alpha \odot \vec{u} \end{align*}

e as operações satisfazem as seguintes propriedades para quaisquer \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V\) e \(\alpha, \beta \in E\text{:}\)

(A1) \(\hspace{5mm} \vec{u} \oplus \vec{v} = \vec{v} \oplus \vec{u},\)
(A2) \(\hspace{5mm} (\vec{u} \oplus \vec{v}) \oplus\vec{w} = \vec{u} \oplus (\vec{v} \oplus \vec{w}),\)
(A3) \(\hspace{5mm} \exists \,\,\, \vec{0} \in V; \vec{u} \oplus \vec{0} = \vec{u}, \,\, \forall \,\, \vec{u} \in V,\)
(A4) \(\hspace{5mm} \forall \,\, \vec{u} \in V, \exists ! \,\,\, -\vec{u} \in V; \vec{u} \oplus (-\vec{u}) = \vec{0}\text{,}\)
(A5) \(\hspace{5mm} \alpha\odot(\vec{u} \oplus \vec{v}) = \alpha\odot\vec{u} \oplus \alpha\odot\vec{v},\)
(A6) \(\hspace{5mm} (\alpha + \beta) \vec{u} = \alpha\odot\vec{u} \oplus \beta\odot\vec{u},\)
(A7) \(\hspace{5mm} (\alpha\beta)\odot\vec{u} = \alpha\odot(\beta\odot\vec{u}),\)
(A8) \(\hspace{5mm} 1 \odot \vec{u} = \vec{u}.\)

V é dito o conjunto universal, os elementos de V são ditos vetores e os elementos de E são ditos escalares. Muitas vezes, quando está claro quais as operações de adição e multiplicação por escalar e qual o conjunto E de escalares, Chamamos \(V\) de um espaço vetorial omitindo menção explicita ao corpo de escalares e às operações de adição e multiplicação por escalar.

O conjunto \(V = \{ \vec{u} = (u_1, u_2)^T \in \mathbb{R}^2 | u_2 =1\}\) não é um espaço vetorial com escalares reais e as operações de adição e multiplicação por escalar herdadas de \(\mathbb{R}^2\) pois, dados \(\vec{u}, \vec{v} \in V\text{,}\) \(\vec{u} = (u_1, 1)^T\) e \(\vec{v} = (v_1, 1)^T\) temos que
\begin{equation*} \vec{u} + \vec{v} = \left( \begin{array}{c} u_1\\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} v_1\\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} u_1 + v_1\\ 2 \end{array} \right) \notin V. \end{equation*}
Deste modo C1 não é válida e \(V\) não é um espaço vetorial.
Para mostrar que um conjunto \(V\) não é um espaço vetorial, basta mostrar que uma das propriedades não é válida. Todavia mais propriedades podem não ser válidas. Encontre mais duas das propriedades (entre C2 e A1, ... A8) que não são válidas para o espaço vetorial do Example 4.4 e justifique suas escolhas.
\(\mathbb{R}^n\) com escalares reais ou complexos e as operações de adição e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial para qualquer \(n \in \mathbb{N}\text{.}\) Para verificar isso é necessário verificar a validade de \(C1, \, C2, \, A1, \, \ldots, \, A8 \text{.}\)
O conjunto \(V = \{ \vec{u} \in \mathbb{R}^3 | \vec{u} = \alpha_1(-1,0,1)^T + \alpha_2 (0, 1, 1)^T, \, \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}\}\text{,}\) com escalares reais e as operações de adição e multiplicação por escalar herdadas de \(\mathbb{R}^3\) é um espaço vetorial pois, dados \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V\text{,}\) \(\vec{u} = \alpha_1(-1,0,1)^T + \alpha_2 (0, 1, 1)^T \text{,}\) \(\vec{v} = \beta_1(-1,0,1)^T + \beta_2 (0, 1, 1)^T \) e \(\vec{w} = \gamma_1(-1,0,1)^T + \gamma_2 (0, 1, 1)^T \) e \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\text{,}\) verificamos a validade de cada uma das propriedades (alguns detalhes são omitidos por já conhecermos as propriedades da adição de vetores em \(\mathbb{R}^3\)):
\begin{align*} (C1) \hspace{5mm} \vec{u} + \vec{v} =\amp \alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \beta_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \beta_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ =\amp (\alpha_1+\beta_1)\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + (\alpha_2+\beta_2)\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \in V, \end{align*}

de modo que a soma de dois elementos de V é um elemento de \(V\)

.
\begin{gather*} (C2) \hspace{5mm} \alpha\vec{u} = \alpha\left(\alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\right) = \alpha\alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha\alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right),\in V, \end{gather*}

de modo que a multiplicação de um elemento de V por um escalar é um elemento de \(V\text{.}\)

\begin{align*} (A1) \hspace{5mm} \vec{u} + \vec{v} =\amp \alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \beta_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \beta_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ =\amp \beta_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \beta_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{v} + \vec{u}. \end{align*}
\begin{align*} (A2) \hspace{5mm} (\vec{u} + \vec{v}) +\vec{w} =\amp \left( \alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \beta_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \beta_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\right) + \gamma_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \gamma_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right),\\ =\amp \alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \left(\beta_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \beta_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \gamma_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \gamma_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\right),\\ =\amp \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}). \end{align*}
\begin{gather*} (A3) \hspace{5mm} \vec{0} = 0\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + 0\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\in V e \vec{u} + \vec{0} = \vec{u} \,\, \forall \,\, \vec{u} \in V. \end{gather*}
\begin{align*} (A4) \hspace{5mm} \forall \amp \,\, \vec{u} = \alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\in V, \,\, -\vec{u} = (-\alpha_1)\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + (-\alpha_2)\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\in V \Longrightarrow \vec{x} + (-\vec{x}) = \vec{0}\\ \vec{u} +\vec{-u} \amp = \alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + (-\alpha_1)\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + (-\alpha_2)\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\\ \amp = (\alpha_1-\alpha_1)\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + (\alpha_2-\alpha_2)\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{0} \end{align*}
\begin{align*} (A5) \hspace{5mm} \alpha(\vec{u} + \vec{v}) =\amp \alpha\left((\alpha_1+\beta_1)\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + (\alpha_2+\beta_2)\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\right) = (\alpha\alpha_1+\alpha\beta_1)\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + (\alpha\alpha_2+\alpha\beta_2)\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\\ =\amp \alpha\alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha\alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) left + \alpha\beta_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha\beta_2 \left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v} \end{align*}
\begin{align*} (A6) \hspace{5mm} (\alpha + \beta) \vec{u} =\amp (\alpha + \beta)\alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + (\alpha + \beta)\alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ =\amp \alpha\alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha\alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \beta\alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \beta \alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \alpha\vec{u} + \beta\vec{u}, \end{align*}
\begin{align*} (A7) \hspace{5mm} (\alpha\beta) \vec{u} =\amp (\alpha \beta)\alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + (\alpha \beta)\alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ =\amp \alpha(\beta\alpha_1)\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha(\beta\alpha_2)\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \alpha(\beta\vec{u}), \end{align*}
\begin{gather*} (A8) \hspace{5mm} 1 \vec{u} = 1\alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + 1\alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \alpha_1\left( \begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + \alpha_2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{u} \end{gather*}

Portanto \(V\) é um espaço vetorial.

O código abaixo plota o plano gerado pelos vetores do exemplo anterior.

  1. \(\displaystyle \vec{x} = 1\vec{x} = (1+ 0 )\vec{x} = \vec{x} + 0\vec{x} \Longrightarrow -\vec{x} + \vec{x} = -\vec{x} + \vec{x} + 0\vec{x} \Longrightarrow \vec{0} = 0\vec{x}, \)

  2. \(\displaystyle \vec{0} = \vec{x} + \vec{y} \Longrightarrow -\vec{x} + \vec{0} = -\vec{x} + \vec{x} + \vec{y} \Longrightarrow -\vec{x} = \vec{y}, \)

  3. \(\displaystyle \vec{0} = (1-1) \vec{x} = \vec{x}+(-1)\vec{x} \Longrightarrow - \vec{x} + \vec{0} = - \vec{x} + \vec{x} +(-1) \vec{x} \Longrightarrow - \vec{x} = (-1) \vec{x} \)

Utilize o código acima para plotar os conjuntos \(V = \{ \vec{u} \in \mathbb{R}^3 | \vec{u} = \alpha_1(1,0,2)^T + \alpha_2 (1, -1, 0)^T, \, \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}\}\) e \(W = \{ \vec{u} \in \mathbb{R}^3 | \vec{u} = \alpha_1(1,0,2)^T + \alpha_2 (1, -1, 0)^T + (-1, -1, 0)^T, \, \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}\}\text{.}\) Eles são espaços vetoriais (com escalares reais e as operações usuais?)

O conjunto de todas as funções reais definidas no intervalo \((a,b)\text{,}\) que têm derivada de ordem \(n\) contínua (com escalares reais e as operações usuais de adição e multiplicação por escalar) é um espaço vetorial, denominado \(C^n(a,b)\text{.}\) Deixamos a verificação das propriedades C1 e C2, A1 - A8 a cargo do leitor.
O conjunto de todas as matrizes reais \(n\times m\) (com escalares reais e as operações usuais de adição e multiplicação por escalar) é um espaço vetorial. Deixamos a verificação das propriedades C1 e C2, A1 - A8 a cargo do leitor.